Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) - 1}{e^{- x} - 1}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (3 x) - 1}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (3 x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

Etapa 1.2.1.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} 3 x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

Etapa 1.2.1.3

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\cos (3 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

Etapa 1.2.1.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\cos (3 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

Etapa 1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\cos (3 \cdot 0) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

Etapa 1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.3.1.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{\cos (0) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

Etapa 1.2.3.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

Etapa 1.2.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

Etapa 1.2.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} e^{- x} - lim_{x \to 0} 1}$

Etapa 1.3.2

Mova o limite para o expoente.

$\frac{0}{e^{lim_{x \to 0} - x} - lim_{x \to 0} 1}$

Etapa 1.3.3

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{e^{- lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}$

Etapa 1.3.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{e^{- lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.3.5

Simplifique os termos.

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Etapa 1.3.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{e^{0} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.3.5.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.5.2.1.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.3.5.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Etapa 1.3.5.2.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.5.2.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.5.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.6

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) - 1}{e^{- x} - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\cos (3 x) - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$ .

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Etapa 3.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 3.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

Etapa 3.3.1.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

Etapa 3.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

Etapa 3.3.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (3 x) (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

Etapa 3.3.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (3 x) \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

Etapa 3.3.5

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

Etapa 3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x) + 0}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

Etapa 3.5

Some $- 3 \sin (3 x)$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

Etapa 3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{- x} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Etapa 3.7.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 3.7.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.7.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{e^{u} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.7.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.7.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.7.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.7.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.7.5

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{- 1 e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.7.6

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{- e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.8

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{- e^{- x} + 0}$

Etapa 3.9

Some $- e^{- x}$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{- e^{- x}}$

Etapa 4

Mova o termo $- 3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- 3 lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x)}{- e^{- x}}$

Etapa 5

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$- 3 \frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} - e^{- x}}$

Etapa 6

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$- 3 \frac{\sin (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} - e^{- x}}$

Etapa 7

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- 3 \frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - e^{- x}}$

Etapa 8

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- 3 \frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} e^{- x}}$

Etapa 9

Mova o limite para o expoente.

$- 3 \frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x)}{- e^{lim_{x \to 0} - x}}$

Etapa 10

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- 3 \frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x)}{- e^{- lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 11

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 11.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$- 3 \frac{\sin (3 \cdot 0)}{- e^{- lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 11.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$- 3 \frac{\sin (3 \cdot 0)}{- e^{0}}$

Etapa 12

Simplifique a resposta.

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Etapa 12.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.1.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$- 3 \frac{\sin (0)}{- e^{0}}$

Etapa 12.1.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$- 3 \frac{0}{- e^{0}}$

Etapa 12.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$- 3 \frac{0}{- 1 \cdot 1}$

Etapa 12.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 3 (\frac{0}{- 1})$

Etapa 12.4

Divida $0$ por $- 1$ .

$- 3 \cdot 0$

Etapa 12.5

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$0$