Cálculo Exemplos

$f (x) = \arctan (x^{2})$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\arctan (u)) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 1.1.1.1.2

A derivada de $\arctan (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + u^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 1.1.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + {(x^{2})}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + x^{2 \cdot 2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 1.1.1.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + x^{4}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + x^{4}} \cdot (2 x)$

Etapa 1.1.1.2.3

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.3.1

Combine $2$ e $\frac{1}{1 + x^{4}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{1 + x^{4}} \cdot x$

Etapa 1.1.1.2.3.2

Combine $\frac{2}{1 + x^{4}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{1 + x^{4}}$

Etapa 1.1.1.2.3.3

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{4} + 1}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 x}{x^{4} + 1}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{4} + 1}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{4} + 1})$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{4} + 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{4} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{4} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Etapa 1.1.2.3.2

Multiplique $x^{4} + 1$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Etapa 1.1.2.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Etapa 1.1.2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Etapa 1.1.2.3.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Etapa 1.1.2.3.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.6.1

Some $4 x^{3}$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Etapa 1.1.2.3.6.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 x \cdot x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Etapa 1.1.2.4

Multiplique $x$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.1

Mova $x^{3}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Etapa 1.1.2.4.2

Multiplique $x^{3}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Etapa 1.1.2.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 x^{3 + 1}}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Etapa 1.1.2.4.3

Some $3$ e $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 x^{4}}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Etapa 1.1.2.5

Subtraia $4 x^{4}$ de $x^{4}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Etapa 1.1.2.6

Combine $2$ e $\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4}) + 2 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.7.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.7.2.1

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 2 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.7.2.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 2}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.7.3

Fatore $2$ de $- 6 x^{4} + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.7.3.1

Fatore $2$ de $- 6 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4}) + 2}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.7.3.2

Fatore $2$ de $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4}) + 2 (1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.7.3.3

Fatore $2$ de $2 (- 3 x^{4}) + 2 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.7.4

Fatore $- 1$ de $- 3 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (3 x^{4}) + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.7.5

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (3 x^{4}) - 1 \cdot - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.7.6

Fatore $- 1$ de $- (3 x^{4}) - 1 (- 1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.7.7

Reescreva $- (3 x^{4} - 1)$ como $- 1 (3 x^{4} - 1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.7.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 (3 x^{4} - 1) = 0$

Etapa 1.2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $2 (3 x^{4} - 1) = 0$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.1

Divida cada termo em $2 (3 x^{4} - 1) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (3 x^{4} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 1.2.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (3 x^{4} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 1.2.3.1.2.1.2

Divida $3 x^{4} - 1$ por $1$ .

$3 x^{4} - 1 = \frac{0}{2}$

Etapa 1.2.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$3 x^{4} - 1 = 0$

Etapa 1.2.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$3 x^{4} = 1$

Etapa 1.2.3.3

Divida cada termo em $3 x^{4} = 1$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1

Divida cada termo em $3 x^{4} = 1$ por $3$ .

$\frac{3 x^{4}}{3} = \frac{1}{3}$

Etapa 1.2.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{4}}{3} = \frac{1}{3}$

Etapa 1.2.3.3.2.1.2

Divida $x^{4}$ por $1$ .

$x^{4} = \frac{1}{3}$

Etapa 1.2.3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{3}}$

Etapa 1.2.3.5

Simplifique $\pm \sqrt[4]{\frac{1}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.5.1

Reescreva $\sqrt[4]{\frac{1}{3}}$ como $\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{3}}$

Etapa 1.2.3.5.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{3}}$

Etapa 1.2.3.5.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ por $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Etapa 1.2.3.5.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.5.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ por $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{\sqrt[4]{3} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Etapa 1.2.3.5.4.2

Eleve $\sqrt[4]{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Etapa 1.2.3.5.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1 + 3}}$

Etapa 1.2.3.5.4.4

Some $1$ e $3$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{4}}$

Etapa 1.2.3.5.4.5

Reescreva ${\sqrt[4]{3}}^{4}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.5.4.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[4]{3}$ como $3^{\frac{1}{4}}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Etapa 1.2.3.5.4.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Etapa 1.2.3.5.4.5.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $4$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Etapa 1.2.3.5.4.5.4

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.5.4.5.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Etapa 1.2.3.5.4.5.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{1}}$

Etapa 1.2.3.5.4.5.5

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3}$

Etapa 1.2.3.5.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.5.5.1

Reescreva ${\sqrt[4]{3}}^{3}$ como $\sqrt[4]{3^{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{3^{3}}}{3}$

Etapa 1.2.3.5.5.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Etapa 1.2.3.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Etapa 1.2.3.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Etapa 1.2.3.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) \cup (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f'' (- 3) = - \frac{2 (3 {(- 3)}^{4} - 1)}{{({(- 3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $4$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 (3 \cdot 81 - 1)}{{({(- 3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $3$ por $81$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 (243 - 1)}{{({(- 3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.3

Subtraia $1$ de $243$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot 242}{{({(- 3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Eleve $- 3$ à potência de $4$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot 242}{{(81 + 1)}^{2}}$

Etapa 4.2.2.2

Some $81$ e $1$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot 242}{82^{2}}$

Etapa 4.2.2.3

Eleve $82$ à potência de $2$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot 242}{6724}$

Etapa 4.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Multiplique $2$ por $242$ .

$f'' (- 3) = - \frac{484}{6724}$

Etapa 4.2.3.2

Cancele o fator comum de $484$ e $6724$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.2.1

Fatore $4$ de $484$ .

$f'' (- 3) = - \frac{4 (121)}{6724}$

Etapa 4.2.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.2.2.1

Fatore $4$ de $6724$ .

$f'' (- 3) = - \frac{4 \cdot 121}{4 \cdot 1681}$

Etapa 4.2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (- 3) = - \frac{4 \cdot 121}{4 \cdot 1681}$

Etapa 4.2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (- 3) = - \frac{121}{1681}$

Etapa 4.2.4

A resposta final é $- \frac{121}{1681}$ .

$- \frac{121}{1681}$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ porque $f'' (- 3)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = - \frac{2 (3 {(0)}^{4} - 1)}{{({(0)}^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (3 \cdot 0 - 1)}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (0 - 1)}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.2.1.3

Subtraia $1$ de $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{{(0 + 1)}^{2}}$

Etapa 5.2.2.2

Some $0$ e $1$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{1^{2}}$

Etapa 5.2.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{1}$

Etapa 5.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (0) = - \frac{- 2}{1}$

Etapa 5.2.3.2

Divida $- 2$ por $1$ .

$f'' (0) = 2$

Etapa 5.2.3.3

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f'' (0) = 2$

Etapa 5.2.4

A resposta final é $2$ .

$2$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ porque $f'' (0)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f'' (3) = - \frac{2 (3 {(3)}^{4} - 1)}{{({(3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Multiplique $3$ por ${(3)}^{4}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Multiplique $3$ por ${(3)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.1

Eleve $3$ à potência de $1$ .

$f'' (3) = - \frac{2 (3 {(3)}^{4} - 1)}{{({(3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (3) = - \frac{2 (3^{1 + 4} - 1)}{{({(3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.2

Some $1$ e $4$ .

$f'' (3) = - \frac{2 (3^{5} - 1)}{{({(3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Eleve $3$ à potência de $5$ .

$f'' (3) = - \frac{2 (243 - 1)}{{(3^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.2

Subtraia $1$ de $243$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot 242}{{(3^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.2.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot 242}{{(81 + 1)}^{2}}$

Etapa 6.2.3.2

Some $81$ e $1$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot 242}{82^{2}}$

Etapa 6.2.3.3

Eleve $82$ à potência de $2$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot 242}{6724}$

Etapa 6.2.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.4.1

Multiplique $2$ por $242$ .

$f'' (3) = - \frac{484}{6724}$

Etapa 6.2.4.2

Cancele o fator comum de $484$ e $6724$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.4.2.1

Fatore $4$ de $484$ .

$f'' (3) = - \frac{4 (121)}{6724}$

Etapa 6.2.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.4.2.2.1

Fatore $4$ de $6724$ .

$f'' (3) = - \frac{4 \cdot 121}{4 \cdot 1681}$

Etapa 6.2.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (3) = - \frac{4 \cdot 121}{4 \cdot 1681}$

Etapa 6.2.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (3) = - \frac{121}{1681}$

Etapa 6.2.5

A resposta final é $- \frac{121}{1681}$ .

$- \frac{121}{1681}$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ porque $f'' (3)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 7

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 8