Cálculo Exemplos

$f (x) = {(3 x + 2)}^{4} - \frac{1}{x^{6}}$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int {(3 x + 2)}^{4} - \frac{1}{x^{6}} d x$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int {(3 x + 2)}^{4} d x + \int - \frac{1}{x^{6}} d x$

Etapa 4

Deixe $u = 3 x + 2$ . Depois, $d u = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Deixe $u = 3 x + 2$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

Etapa 4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 + 0$

Etapa 4.1.4.2

Some $3$ e $0$ .

$3$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u^{4} \frac{1}{3} d u + \int - \frac{1}{x^{6}} d x$

Etapa 5

Combine $u^{4}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{u^{4}}{3} d u + \int - \frac{1}{x^{6}} d x$

Etapa 6

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int u^{4} d u + \int - \frac{1}{x^{6}} d x$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{4}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int - \frac{1}{x^{6}} d x$

Etapa 8

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - \int \frac{1}{x^{6}} d x$

Etapa 9

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Mova $x^{6}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - \int {(x^{6})}^{- 1} d x$

Etapa 9.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{6})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - \int x^{6 \cdot - 1} d x$

Etapa 9.2.2

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - \int x^{- 6} d x$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 6}$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{5} x^{- 5}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - (- \frac{1}{5} x^{- 5} + C)$

Etapa 11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.1

Combine $x^{- 5}$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - (- \frac{x^{- 5}}{5} + C)$

Etapa 11.1.2

Mova $x^{- 5}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - (- \frac{1}{5 x^{5}} + C)$

Etapa 11.2

Simplifique.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} u^{5} - - \frac{1}{5 x^{5}} + C$

Etapa 11.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 5} u^{5} - - \frac{1}{5 x^{5}} + C$

Etapa 11.3.2

Multiplique $3$ por $5$ .

$\frac{1}{15} u^{5} - - \frac{1}{5 x^{5}} + C$

Etapa 11.3.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{15} u^{5} + 1 \frac{1}{5 x^{5}} + C$

Etapa 11.3.4

Multiplique $\frac{1}{5 x^{5}}$ por $1$ .

$\frac{1}{15} u^{5} + \frac{1}{5 x^{5}} + C$

Etapa 12

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x + 2$ .

$\frac{1}{15} {(3 x + 2)}^{5} + \frac{1}{5 x^{5}} + C$

Etapa 13

A resposta é a primitiva da função $f (x) = {(3 x + 2)}^{4} - \frac{1}{x^{6}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{15} {(3 x + 2)}^{5} + \frac{1}{5 x^{5}} + C$