Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(3 \cos (3 θ))}^{2} d θ$

Etapa 1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $3$ de $3 \cos (3 θ)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(3 (\cos (3 θ)))}^{2} d θ$

Etapa 1.2

Aplique a regra do produto a $3 (\cos (3 θ))$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 3^{2} \cos^{2} (3 θ) d θ$

Etapa 1.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 9 \cos^{2} (3 θ) d θ$

Etapa 2

Como $9$ é constante com relação a $θ$ , mova $9$ para fora da integral.

$9 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos^{2} (3 θ) d θ$

Etapa 3

Deixe $u_{1} = 3 θ$ . Depois, $d u_{1} = 3 d θ$ , então, $\frac{1}{3} d u_{1} = d θ$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Deixe $u_{1} = 3 θ$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d θ}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Diferencie $3 θ$ .

$\frac{d}{d θ} [3 θ]$

Etapa 3.1.2

Como $3$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $3 θ$ em relação a $θ$ é $3 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$3 \frac{d}{d θ} [θ]$

Etapa 3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ é $n θ^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 3.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 3.2

Substitua o limite inferior por $θ$ em $u_{1} = 3 θ$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Etapa 3.3

Multiplique $3$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 3.4

Substitua o limite superior por $θ$ em $u_{1} = 3 θ$ .

$u_{upper} = 3 \frac{π}{6}$

Etapa 3.5

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Fatore $3$ de $6$ .

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 (2)}$

Etapa 3.5.2

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 \cdot 2}$

Etapa 3.5.3

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Etapa 3.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Etapa 3.7

Reescreva o problema usando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e os novos limites de integração.

$9 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1}$

Etapa 4

Combine $\cos^{2} (u_{1})$ e $\frac{1}{3}$ .

$9 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{3} d u_{1}$

Etapa 5

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$9 (\frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $9$ .

$\frac{9}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de $9$ e $3$ .

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Etapa 6.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 6.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 (1)} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 6.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 6.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{1} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 6.2.2.4

Divida $3$ por $1$ .

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 7

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\cos^{2} (u_{1})$ como $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Etapa 8

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$3 (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Etapa 9

Combine $\frac{1}{2}$ e $3$ .

$\frac{3}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Etapa 10

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{3}{2} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} d u_{1} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Etapa 11

Aplique a regra da constante.

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Etapa 12

Deixe $u_{2} = 2 u_{1}$ . Depois, $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 12.1

Deixe $u_{2} = 2 u_{1}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 12.1.1

Diferencie $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Etapa 12.1.2

Como $2$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $2 u_{1}$ em relação a $u_{1}$ é $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Etapa 12.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 12.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 12.2

Substitua o limite inferior por $u_{1}$ em $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Etapa 12.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 12.4

Substitua o limite superior por $u_{1}$ em $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Etapa 12.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.5.1

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Etapa 12.5.2

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = π$

Etapa 12.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Etapa 12.7

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Etapa 13

Combine $\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Etapa 14

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

Etapa 15

A integral de $\cos (u_{2})$ com relação a $u_{2}$ é $\sin (u_{2})$ .

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{π})$

Etapa 16

Substitua e simplifique.

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Etapa 16.1

Avalie $u_{1}$ em $\frac{π}{2}$ e em $0$ .

$\frac{3}{2} ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{π})$

Etapa 16.2

Avalie $\sin (u_{2})$ em $π$ e em $0$ .

$\frac{3}{2} ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (0)))$

Etapa 16.3

Some $\frac{π}{2}$ e $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (0)))$

Etapa 17

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) - 0))$

Etapa 17.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) + 0))$

Etapa 17.3

Some $\sin (π)$ e $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (π))$

Etapa 17.4

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (π)$ .

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π)}{2})$

Etapa 18

Simplifique.

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Etapa 18.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π + \sin (π)}{2}$

Etapa 18.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 18.2.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π + \sin (0)}{2}$

Etapa 18.2.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π + 0}{2}$

Etapa 18.3

Some $π$ e $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Etapa 18.4

Multiplique $\frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.4.1

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $\frac{π}{2}$ .

$\frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Etapa 18.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{3 π}{4}$

Etapa 19

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{3 π}{4}$

Forma decimal:

$2.35619449 \dots$