Cálculo Exemplos

$\frac{1}{X^{3} + X}$

Etapa 1

Escreva $\frac{1}{X^{3} + X}$ como uma função.

$f (X) = \frac{1}{X^{3} + X}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (X)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (X)$ .

$F (X) = \int f (X) d X$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (X) = \int \frac{1}{X^{3} + X} d X$

Etapa 4

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Fatore $X$ de $X^{3} + X$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

Fatore $X$ de $X^{3}$ .

$\frac{1}{X \cdot X^{2} + X}$

Etapa 4.1.1.2

Eleve $X$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{X \cdot X^{2} + X^{1}}$

Etapa 4.1.1.3

Fatore $X$ de $X^{1}$ .

$\frac{1}{X \cdot X^{2} + X \cdot 1}$

Etapa 4.1.1.4

Fatore $X$ de $X \cdot X^{2} + X \cdot 1$ .

$\frac{1}{X (X^{2} + 1)}$

Etapa 4.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator é de 2ª ordem, os termos de $2$ são necessários no numerador. O número de termos necessários no numerador é sempre igual à ordem do fator no denominador.

$\frac{A}{X} + \frac{B X + C}{X^{2} + 1}$

Etapa 4.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $X (X^{2} + 1)$ .

$\frac{1 (X (X^{2} + 1))}{X (X^{2} + 1)} = \frac{A (X (X^{2} + 1))}{X} + \frac{(B X + C) (X (X^{2} + 1))}{X^{2} + 1}$

Etapa 4.1.4

Cancele o fator comum de $X$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (X (X^{2} + 1))}{X (X^{2} + 1)} = \frac{A (X (X^{2} + 1))}{X} + \frac{(B X + C) (X (X^{2} + 1))}{X^{2} + 1}$

Etapa 4.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (X^{2} + 1)}{X^{2} + 1} = \frac{A (X (X^{2} + 1))}{X} + \frac{(B X + C) (X (X^{2} + 1))}{X^{2} + 1}$

Etapa 4.1.5

Cancele o fator comum de $X^{2} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (X^{2} + 1)}{X^{2} + 1} = \frac{A (X (X^{2} + 1))}{X} + \frac{(B X + C) (X (X^{2} + 1))}{X^{2} + 1}$

Etapa 4.1.5.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{A (X (X^{2} + 1))}{X} + \frac{(B X + C) (X (X^{2} + 1))}{X^{2} + 1}$

Etapa 4.1.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.1

Cancele o fator comum de $X$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (X (X^{2} + 1))}{X} + \frac{(B X + C) (X (X^{2} + 1))}{X^{2} + 1}$

Etapa 4.1.6.1.2

Divida $A (X^{2} + 1)$ por $1$ .

$1 = A (X^{2} + 1) + \frac{(B X + C) (X (X^{2} + 1))}{X^{2} + 1}$

Etapa 4.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A X^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B X + C) (X (X^{2} + 1))}{X^{2} + 1}$

Etapa 4.1.6.3

Multiplique $A$ por $1$ .

$1 = A X^{2} + A + \frac{(B X + C) (X (X^{2} + 1))}{X^{2} + 1}$

Etapa 4.1.6.4

Cancele o fator comum de $X^{2} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.4.1

Cancele o fator comum.

$1 = A X^{2} + A + \frac{(B X + C) (X (X^{2} + 1))}{X^{2} + 1}$

Etapa 4.1.6.4.2

Divida $(B X + C) (X)$ por $1$ .

$1 = A X^{2} + A + (B X + C) (X)$

Etapa 4.1.6.5

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A X^{2} + A + B X \cdot X + C X$

Etapa 4.1.6.6

Multiplique $X$ por $X$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.6.1

Mova $X$ .

$1 = A X^{2} + A + B (X \cdot X) + C X$

Etapa 4.1.6.6.2

Multiplique $X$ por $X$ .

$1 = A X^{2} + A + B X^{2} + C X$

Etapa 4.1.7

Mova $A$ .

$1 = A X^{2} + B X^{2} + C X + A$

Etapa 4.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $X^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A + B$

Etapa 4.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $X$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = C$

Etapa 4.2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $X$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A$

Etapa 4.2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

Etapa 4.3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Reescreva a equação como $C = 0$ .

$C = 0$

$0 = A + B$

$1 = A$

Etapa 4.3.2

Reescreva a equação como $A = 1$ .

$A = 1$

$C = 0$

$0 = A + B$

Etapa 4.3.3

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $1$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = A + B$ por $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 0$

Etapa 4.3.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.2.1

Remova os parênteses.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

Etapa 4.3.4

Resolva $B$ em $0 = 1 + B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Reescreva a equação como $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

$C = 0$

Etapa 4.3.4.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

Etapa 4.3.5

Resolva o sistema de equações.

$B = - 1 A = 1 C = 0$

Etapa 4.3.6

Liste todas as soluções.

$B = - 1, A = 1, C = 0$

Etapa 4.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{X} + \frac{B X + C}{X^{2} + 1}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{1}{X} + \frac{- 1 X + 0}{X^{2} + 1}$

Etapa 4.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Remova os parênteses.

$\frac{1}{X} + \frac{(- 1) \cdot X + 0}{X^{2} + 1}$

Etapa 4.5.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1

Reescreva $- 1 X$ como $- X$ .

$\frac{1}{X} + \frac{- X + 0}{X^{2} + 1}$

Etapa 4.5.2.2

Some $- X$ e $0$ .

$\frac{1}{X} + \frac{- X}{X^{2} + 1}$

Etapa 4.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \frac{1}{X} - \frac{X}{X^{2} + 1} d X$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{1}{X} d X + \int - \frac{X}{X^{2} + 1} d X$

Etapa 6

A integral de $\frac{1}{X}$ com relação a $X$ é $\ln (| X |)$ .

$\ln (| X |) + C + \int - \frac{X}{X^{2} + 1} d X$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $X$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| X |) + C - \int \frac{X}{X^{2} + 1} d X$

Etapa 8

Deixe $u = X^{2} + 1$ . Depois, $d u = 2 X d X$ , então, $\frac{1}{2} d u = X d X$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Deixe $u = X^{2} + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d X}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Diferencie $X^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d X} [X^{2} + 1]$

Etapa 8.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $X^{2} + 1$ com relação a $X$ é $\frac{d}{d X} [X^{2}] + \frac{d}{d X} [1]$ .

$\frac{d}{d X} [X^{2}] + \frac{d}{d X} [1]$

Etapa 8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d X} [X^{n}]$ é $n X^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 X + \frac{d}{d X} [1]$

Etapa 8.1.4

Como $1$ é constante em relação a $X$ , a derivada de $1$ em relação a $X$ é $0$ .

$2 X + 0$

Etapa 8.1.5

Some $2 X$ e $0$ .

$2 X$

Etapa 8.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| X |) + C - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| X |) + C - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Etapa 9.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\ln (| X |) + C - \int \frac{1}{2 u} d u$

Etapa 10

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\ln (| X |) + C - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 11

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| X |) + C - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Etapa 12

Simplifique.

$\ln (| X |) - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Etapa 13

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $X^{2} + 1$ .

$\ln (| X |) - \frac{1}{2} \ln (| X^{2} + 1 |) + C$

Etapa 14

A resposta é a primitiva da função $f (X) = \frac{1}{X^{3} + X}$ .

$F (X) =$ $\ln (| X |) - \frac{1}{2} \ln (| X^{2} + 1 |) + C$