Cálculo Exemplos

$f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 8 x^{3}$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{3}{20} x^{5} + 8 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $- \frac{3}{20}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{3}{20} x^{5}$ em relação a $x$ é $- \frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$- \frac{3}{20} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$- 5 (\frac{3}{20}) x^{4} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Etapa 1.1.2.4

Combine $- 5$ e $\frac{3}{20}$ .

$\frac{- 5 \cdot 3}{20} x^{4} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Etapa 1.1.2.5

Multiplique $- 5$ por $3$ .

$\frac{- 15}{20} x^{4} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Etapa 1.1.2.6

Combine $\frac{- 15}{20}$ e $x^{4}$ .

$\frac{- 15 x^{4}}{20} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Etapa 1.1.2.7

Cancele o fator comum de $- 15$ e $20$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.7.1

Fatore $5$ de $- 15 x^{4}$ .

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{20} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Etapa 1.1.2.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.7.2.1

Fatore $5$ de $20$ .

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 (4)} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Etapa 1.1.2.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 \cdot 4} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Etapa 1.1.2.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 3 x^{4}}{4} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Etapa 1.1.2.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3 x^{4}}{4} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x^{3}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{3 x^{4}}{4} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- \frac{3 x^{4}}{4} + 8 (3 x^{2})$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $3$ por $8$ .

$f' (x) = - \frac{3 x^{4}}{4} + 24 x^{2}$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{3 x^{4}}{4} + 24 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Como $- \frac{3}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{3 x^{4}}{4}$ em relação a $x$ é $- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- \frac{3}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Etapa 1.2.2.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 4 (\frac{3}{4}) x^{3} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Etapa 1.2.2.4

Combine $- 4$ e $\frac{3}{4}$ .

$\frac{- 4 \cdot 3}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Etapa 1.2.2.5

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$\frac{- 12}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Etapa 1.2.2.6

Combine $\frac{- 12}{4}$ e $x^{3}$ .

$\frac{- 12 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Etapa 1.2.2.7

Cancele o fator comum de $- 12$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.7.1

Fatore $4$ de $- 12 x^{3}$ .

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Etapa 1.2.2.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.7.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Etapa 1.2.2.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Etapa 1.2.2.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 3 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Etapa 1.2.2.7.2.4

Divida $- 3 x^{3}$ por $1$ .

$- 3 x^{3} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Etapa 1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Como $24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $24 x^{2}$ em relação a $x$ é $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{3} + 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 3 x^{3} + 24 (2 x)$

Etapa 1.2.3.3

Multiplique $2$ por $24$ .

$f'' (x) = - 3 x^{3} + 48 x$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 3 x^{3} + 48 x$ .

$- 3 x^{3} + 48 x$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 3 x^{3} + 48 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- 3 x^{3} + 48 x = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore $- 3 x$ de $- 3 x^{3} + 48 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Fatore $- 3 x$ de $- 3 x^{3}$ .

$- 3 x \cdot x^{2} + 48 x = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $- 3 x$ de $48 x$ .

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot - 16 = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $- 3 x$ de $- 3 x (x^{2}) - 3 x (- 16)$ .

$- 3 x (x^{2} - 16) = 0$

Etapa 2.2.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 4^{2}) = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 4$ .

$- 3 x ((x + 4) (x - 4)) = 0$

Etapa 2.2.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- 3 x (x + 4) (x - 4) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.5

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 2.5.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 2.6

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 2.6.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 2.7

A solução final são todos os valores que tornam $- 3 x (x + 4) (x - 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 4, 4$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $0$ em $f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 8 x^{3}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = - \frac{3}{20} \cdot {(0)}^{5} + 8 {(0)}^{3}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = - \frac{3}{20} \cdot 0 + 8 {(0)}^{3}$

Etapa 3.1.2.1.2

Multiplique $- \frac{3}{20} \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.2.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$f (0) = 0 (\frac{3}{20}) + 8 {(0)}^{3}$

Etapa 3.1.2.1.2.2

Multiplique $0$ por $\frac{3}{20}$ .

$f (0) = 0 + 8 {(0)}^{3}$

Etapa 3.1.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 + 8 \cdot 0$

Etapa 3.1.2.1.4

Multiplique $8$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Etapa 3.1.2.2

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Etapa 3.1.2.3

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $0$ em $f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 8 x^{3}$ é $(0, 0)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(0, 0)$

Etapa 3.3

Substitua $- 4$ em $f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 8 x^{3}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f (- 4) = - \frac{3}{20} \cdot {(- 4)}^{5} + 8 {(- 4)}^{3}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $5$ .

$f (- 4) = - \frac{3}{20} \cdot - 1024 + 8 {(- 4)}^{3}$

Etapa 3.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3}{20}$ para o numerador.

$f (- 4) = \frac{- 3}{20} \cdot - 1024 + 8 {(- 4)}^{3}$

Etapa 3.3.2.1.2.2

Fatore $4$ de $20$ .

$f (- 4) = \frac{- 3}{4 (5)} \cdot - 1024 + 8 {(- 4)}^{3}$

Etapa 3.3.2.1.2.3

Fatore $4$ de $- 1024$ .

$f (- 4) = \frac{- 3}{4 \cdot 5} \cdot (4 \cdot - 256) + 8 {(- 4)}^{3}$

Etapa 3.3.2.1.2.4

Cancele o fator comum.

$f (- 4) = \frac{- 3}{4 \cdot 5} \cdot (4 \cdot - 256) + 8 {(- 4)}^{3}$

Etapa 3.3.2.1.2.5

Reescreva a expressão.

$f (- 4) = \frac{- 3}{5} \cdot - 256 + 8 {(- 4)}^{3}$

Etapa 3.3.2.1.3

Combine $\frac{- 3}{5}$ e $- 256$ .

$f (- 4) = \frac{- 3 \cdot - 256}{5} + 8 {(- 4)}^{3}$

Etapa 3.3.2.1.4

Multiplique $- 3$ por $- 256$ .

$f (- 4) = \frac{768}{5} + 8 {(- 4)}^{3}$

Etapa 3.3.2.1.5

Eleve $- 4$ à potência de $3$ .

$f (- 4) = \frac{768}{5} + 8 \cdot - 64$

Etapa 3.3.2.1.6

Multiplique $8$ por $- 64$ .

$f (- 4) = \frac{768}{5} - 512$

Etapa 3.3.2.2

Para escrever $- 512$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$f (- 4) = \frac{768}{5} - 512 \cdot \frac{5}{5}$

Etapa 3.3.2.3

Combine $- 512$ e $\frac{5}{5}$ .

$f (- 4) = \frac{768}{5} + \frac{- 512 \cdot 5}{5}$

Etapa 3.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- 4) = \frac{768 - 512 \cdot 5}{5}$

Etapa 3.3.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.5.1

Multiplique $- 512$ por $5$ .

$f (- 4) = \frac{768 - 2560}{5}$

Etapa 3.3.2.5.2

Subtraia $2560$ de $768$ .

$f (- 4) = \frac{- 1792}{5}$

Etapa 3.3.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- 4) = - \frac{1792}{5}$

Etapa 3.3.2.7

A resposta final é $- \frac{1792}{5}$ .

$- \frac{1792}{5}$

Etapa 3.4

O ponto encontrado ao substituir $- 4$ em $f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 8 x^{3}$ é $(- 4, - \frac{1792}{5})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- 4, - \frac{1792}{5})$

Etapa 3.5

Substitua $4$ em $f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 8 x^{3}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f (4) = - \frac{3}{20} \cdot {(4)}^{5} + 8 {(4)}^{3}$

Etapa 3.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $5$ .

$f (4) = - \frac{3}{20} \cdot 1024 + 8 {(4)}^{3}$

Etapa 3.5.2.1.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3}{20}$ para o numerador.

$f (4) = \frac{- 3}{20} \cdot 1024 + 8 {(4)}^{3}$

Etapa 3.5.2.1.2.2

Fatore $4$ de $20$ .

$f (4) = \frac{- 3}{4 (5)} \cdot 1024 + 8 {(4)}^{3}$

Etapa 3.5.2.1.2.3

Fatore $4$ de $1024$ .

$f (4) = \frac{- 3}{4 \cdot 5} \cdot (4 \cdot 256) + 8 {(4)}^{3}$

Etapa 3.5.2.1.2.4

Cancele o fator comum.

$f (4) = \frac{- 3}{4 \cdot 5} \cdot (4 \cdot 256) + 8 {(4)}^{3}$

Etapa 3.5.2.1.2.5

Reescreva a expressão.

$f (4) = \frac{- 3}{5} \cdot 256 + 8 {(4)}^{3}$

Etapa 3.5.2.1.3

Combine $\frac{- 3}{5}$ e $256$ .

$f (4) = \frac{- 3 \cdot 256}{5} + 8 {(4)}^{3}$

Etapa 3.5.2.1.4

Multiplique $- 3$ por $256$ .

$f (4) = \frac{- 768}{5} + 8 {(4)}^{3}$

Etapa 3.5.2.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (4) = - \frac{768}{5} + 8 {(4)}^{3}$

Etapa 3.5.2.1.6

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$f (4) = - \frac{768}{5} + 8 \cdot 64$

Etapa 3.5.2.1.7

Multiplique $8$ por $64$ .

$f (4) = - \frac{768}{5} + 512$

Etapa 3.5.2.2

Para escrever $512$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$f (4) = - \frac{768}{5} + 512 \cdot \frac{5}{5}$

Etapa 3.5.2.3

Combine $512$ e $\frac{5}{5}$ .

$f (4) = - \frac{768}{5} + \frac{512 \cdot 5}{5}$

Etapa 3.5.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (4) = \frac{- 768 + 512 \cdot 5}{5}$

Etapa 3.5.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.5.1

Multiplique $512$ por $5$ .

$f (4) = \frac{- 768 + 2560}{5}$

Etapa 3.5.2.5.2

Some $- 768$ e $2560$ .

$f (4) = \frac{1792}{5}$

Etapa 3.5.2.6

A resposta final é $\frac{1792}{5}$ .

$\frac{1792}{5}$

Etapa 3.6

O ponto encontrado ao substituir $4$ em $f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 8 x^{3}$ é $(4, \frac{1792}{5})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(4, \frac{1792}{5})$

Etapa 3.7

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(0, 0), (- 4, - \frac{1792}{5}), (4, \frac{1792}{5})$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 4)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 4.1$ na expressão.

$f'' (- 4.1) = - 3 {(- 4.1)}^{3} + 48 (- 4.1)$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 4.1$ à potência de $3$ .

$f'' (- 4.1) = - 3 \cdot - 68.921 + 48 (- 4.1)$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $- 68.921$ .

$f'' (- 4.1) = 206.763 + 48 (- 4.1)$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $48$ por $- 4.1$ .

$f'' (- 4.1) = 206.763 - 196.8$

Etapa 5.2.2

Subtraia $196.8$ de $206.763$ .

$f'' (- 4.1) = 9.963$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $9.963$ .

$9.963$

Etapa 5.3

Em $- 4.1$ , a segunda derivada é $9.963$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, - 4)$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 4)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- 4, 0)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f'' (- 2) = - 3 {(- 2)}^{3} + 48 (- 2)$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f'' (- 2) = - 3 \cdot - 8 + 48 (- 2)$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $- 8$ .

$f'' (- 2) = 24 + 48 (- 2)$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $48$ por $- 2$ .

$f'' (- 2) = 24 - 96$

Etapa 6.2.2

Subtraia $96$ de $24$ .

$f'' (- 2) = - 72$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 72$ .

$- 72$

Etapa 6.3

Em $- 2$ , a segunda derivada é $- 72$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- 4, 0)$ .

Decréscimo em $(- 4, 0)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(0, 4)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f'' (2) = - 3 {(2)}^{3} + 48 (2)$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f'' (2) = - 3 \cdot 8 + 48 (2)$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $8$ .

$f'' (2) = - 24 + 48 (2)$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $48$ por $2$ .

$f'' (2) = - 24 + 96$

Etapa 7.2.2

Some $- 24$ e $96$ .

$f'' (2) = 72$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $72$ .

$72$

Etapa 7.3

Em $2$ , a segunda derivada é $72$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(0, 4)$ .

Acréscimo em $(0, 4)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(4, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $4.1$ na expressão.

$f'' (4.1) = - 3 {(4.1)}^{3} + 48 (4.1)$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Eleve $4.1$ à potência de $3$ .

$f'' (4.1) = - 3 \cdot 68.921 + 48 (4.1)$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $68.921$ .

$f'' (4.1) = - 206.763 + 48 (4.1)$

Etapa 8.2.1.3

Multiplique $48$ por $4.1$ .

$f'' (4.1) = - 206.763 + 196.8$

Etapa 8.2.2

Some $- 206.763$ e $196.8$ .

$f'' (4.1) = - 9.963$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $- 9.963$ .

$- 9.963$

Etapa 8.3

Em $4.1$ , a segunda derivada é $- 9.963$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(4, \infty)$ .

Decréscimo em $(4, \infty)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 9

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, os pontos de inflexão são $(- 4, - \frac{1792}{5}), (0, 0), (4, \frac{1792}{5})$ .

$(- 4, - \frac{1792}{5}), (0, 0), (4, \frac{1792}{5})$

Etapa 10