Cálculo Exemplos

$\int 6 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 1

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$6 \int x {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 2

Deixe $u = x^{2} + 1$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = x^{2} + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 2.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$6 \int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} d u$

Etapa 3

Combine $u^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$6 \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$6 (\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $6$ .

$\frac{6}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Etapa 5.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Etapa 5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{1} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Etapa 5.2.2.4

Divida $3$ por $1$ .

$3 \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{3}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Reescreva $3 (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$ como $3 (\frac{2}{5}) u^{\frac{5}{2}} + C$ .

$3 (\frac{2}{5}) u^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

Combine $3$ e $\frac{2}{5}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 7.2.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{6}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 1$ .

$\frac{6}{5} {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + C$