Cálculo Exemplos

$\int - 2 (5 x^{2} + 2 x) e^{3 x} d x$

Etapa 1

Simplifique.

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Etapa 1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (- 2 (5 x^{2}) - 2 (2 x)) e^{3 x} d x$

Etapa 1.2

Multiplique $5$ por $- 2$ .

$\int (- 10 x^{2} - 2 (2 x)) e^{3 x} d x$

Etapa 1.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\int (- 10 x^{2} - 4 x) e^{3 x} d x$

Etapa 1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\int - 10 x^{2} e^{3 x} - 4 x e^{3 x} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - 10 x^{2} e^{3 x} d x + \int - 4 x e^{3 x} d x$

Etapa 3

Como $- 10$ é constante com relação a $x$ , mova $- 10$ para fora da integral.

$- 10 \int x^{2} e^{3 x} d x + \int - 4 x e^{3 x} d x$

Etapa 4

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x^{2}$ e $d v = e^{3 x}$ .

$- 10 (x^{2} (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (2 x) d x) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $e^{3 x}$ .

$- 10 (x^{2} \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (2 x) d x) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

Etapa 5.2

Combine $x^{2}$ e $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (2 x) d x) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

Etapa 5.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $e^{3 x}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} (2 x) d x) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

Etapa 5.4

Combine $2$ e $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \int \frac{2 e^{3 x}}{3} x d x) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

Etapa 5.5

Combine $\frac{2 e^{3 x}}{3}$ e $x$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \int \frac{2 e^{3 x} x}{3} d x) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

Etapa 6

Como $\frac{2}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{2}{3}$ para fora da integral.

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - (\frac{2}{3} \int e^{3 x} x d x)) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

Etapa 7

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{3 x}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $e^{3 x}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

Etapa 8.2

Combine $x$ e $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

Etapa 8.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $e^{3 x}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} d x)) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

Etapa 9

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x))) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

Etapa 10

Deixe $u_{1} = 3 x$ . Depois, $d u_{1} = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 10.1

Deixe $u_{1} = 3 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 10.1.1

Diferencie $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 10.1.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 10.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 10.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 10.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1})) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

Etapa 11

Combine $e^{u_{1}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1})) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

Etapa 12

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1}))) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u_{1}} d u_{1})) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

Etapa 13.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u_{1}} d u_{1})) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

Etapa 14

A integral de $e^{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $e^{u_{1}}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

Etapa 15

Como $- 4$ é constante com relação a $x$ , mova $- 4$ para fora da integral.

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 \int x e^{3 x} d x$

Etapa 16

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{3 x}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

Etapa 17

Simplifique.

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Etapa 17.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $e^{3 x}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

Etapa 17.2

Combine $x$ e $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

Etapa 17.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $e^{3 x}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} d x)$

Etapa 18

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x))$

Etapa 19

Deixe $u_{2} = 3 x$ . Depois, $d u_{2} = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 19.1

Deixe $u_{2} = 3 x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 19.1.1

Diferencie $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 19.1.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 19.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 19.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 19.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u_{2}} \frac{1}{3} d u_{2})$

Etapa 20

Combine $e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2})$

Etapa 21

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}))$

Etapa 22

Simplifique.

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Etapa 22.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 22.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 23

A integral de $e^{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $e^{u_{2}}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{2}} + C))$

Etapa 24

Simplifique.

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Etapa 24.1

Simplifique.

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2 x e^{3 x}}{9} + \frac{2 e^{u_{1}}}{27}) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} e^{u_{2}}) + C$

Etapa 24.2

Combine $e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{9}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2 x e^{3 x}}{9} + \frac{2 e^{u_{1}}}{27}) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u_{2}}}{9}) + C$

Etapa 25

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 25.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $3 x$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2 x e^{3 x}}{9} + \frac{2 e^{3 x}}{27}) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u_{2}}}{9}) + C$

Etapa 25.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 x$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2 x e^{3 x}}{9} + \frac{2 e^{3 x}}{27}) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

Etapa 26

Reordene os termos.

$- 10 (\frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} - \frac{2}{9} x e^{3 x} + \frac{2}{27} e^{3 x}) - 4 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + C$