Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - 2 x + \sin (x)}{x}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x + \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 0} x + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.5

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0^{2} - 2 lim_{x \to 0} x + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0^{2} - 2 \cdot 0 + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.5.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0^{2} - 2 \cdot 0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.6.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0 - 2 \cdot 0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.6.1.2

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$\frac{0 + 0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.6.1.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0 + 0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.6.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.6.3

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - 2 x + \sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 x + \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 2 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.5

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 2 + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 2 + \cos (x)}{1}$

Etapa 1.4

Divida $2 x - 2 + \cos (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} 2 x - 2 + \cos (x)$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$lim_{x \to 0} 2 x - lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} \cos (x)$

Etapa 2.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} \cos (x)$

Etapa 2.3

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2 + lim_{x \to 0} \cos (x)$

Etapa 2.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2 + \cos (lim_{x \to 0} x)$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$2 \cdot 0 - 1 \cdot 2 + \cos (lim_{x \to 0} x)$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$2 \cdot 0 - 1 \cdot 2 + \cos (0)$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$0 - 1 \cdot 2 + \cos (0)$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$0 - 2 + \cos (0)$

Etapa 4.1.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$0 - 2 + 1$

Etapa 4.2

Subtraia $2$ de $0$ .

$- 2 + 1$

Etapa 4.3

Some $- 2$ e $1$ .

$- 1$