Cálculo Exemplos

$f (x) = {(1 - 2 x)}^{3}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 1 - 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Etapa 1.1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Etapa 1.1.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - 2 x$ .

$3 {(1 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$3 {(1 - 2 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Etapa 1.1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 {(1 - 2 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Etapa 1.1.1.2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$3 {(1 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 1.1.1.2.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(1 - 2 x)}^{2} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.1.1.2.5

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$- 6 {(1 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 6 {(1 - 2 x)}^{2} \cdot 1$

Etapa 1.1.1.2.7

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$f' (x) = - 6 {(1 - 2 x)}^{2}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.2.1

Reescreva ${(1 - 2 x)}^{2}$ como $(1 - 2 x) (1 - 2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 ((1 - 2 x) (1 - 2 x))]$

Etapa 1.1.2.2

Expanda $(1 - 2 x) (1 - 2 x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.1.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 (1 - 2 x) - 2 x (1 - 2 x))]$

Etapa 1.1.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) - 2 x (1 - 2 x))]$

Etapa 1.1.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 2 x))]$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 + 1 (- 2 x) - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 2 x))]$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Multiplique $- 2 x$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 2 x))]$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x - 2 x (- 2 x))]$

Etapa 1.1.2.3.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x)]$

Etapa 1.1.2.3.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.2.3.1.5.1

Mova $x$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x))]$

Etapa 1.1.2.3.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 x^{2})]$

Etapa 1.1.2.3.1.6

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x + 4 x^{2})]$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 4 x + 4 x^{2})]$

Etapa 1.1.2.4

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 (1 - 4 x + 4 x^{2})$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [1 - 4 x + 4 x^{2}]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [1 - 4 x + 4 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - 4 x + 4 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$- 6 (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Etapa 1.1.2.6

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 6 (0 + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Etapa 1.1.2.7

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$- 6 (\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Etapa 1.1.2.8

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 (- 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Etapa 1.1.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 6 (- 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Etapa 1.1.2.10

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$- 6 (- 4 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Etapa 1.1.2.11

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 6 (- 4 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.1.2.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 6 (- 4 + 4 (2 x))$

Etapa 1.1.2.13

Multiplique $2$ por $4$ .

$- 6 (- 4 + 8 x)$

Etapa 1.1.2.14

Simplifique.

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Etapa 1.1.2.14.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 6 \cdot - 4 - 6 (8 x)$

Etapa 1.1.2.14.2

Combine os termos.

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Etapa 1.1.2.14.2.1

Multiplique $- 6$ por $- 4$ .

$24 - 6 (8 x)$

Etapa 1.1.2.14.2.2

Multiplique $8$ por $- 6$ .

$24 - 48 x$

Etapa 1.1.2.14.3

Reordene os termos.

$f'' (x) = - 48 x + 24$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 48 x + 24$ .

$- 48 x + 24$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 48 x + 24 = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- 48 x + 24 = 0$

Etapa 1.2.2

Subtraia $24$ dos dois lados da equação.

$- 48 x = - 24$

Etapa 1.2.3

Divida cada termo em $- 48 x = - 24$ por $- 48$ e simplifique.

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Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $- 48 x = - 24$ por $- 48$ .

$\frac{- 48 x}{- 48} = \frac{- 24}{- 48}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 48$ .

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Etapa 1.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 48 x}{- 48} = \frac{- 24}{- 48}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 24}{- 48}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.3.1

Cancele o fator comum de $- 24$ e $- 48$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1.1

Fatore $- 24$ de $- 24$ .

$x = \frac{- 24 (1)}{- 48}$

Etapa 1.2.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.2.3.3.1.2.1

Fatore $- 24$ de $- 48$ .

$x = \frac{- 24 \cdot 1}{- 24 \cdot 2}$

Etapa 1.2.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{- 24 \cdot 1}{- 24 \cdot 2}$

Etapa 1.2.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, \frac{1}{2})$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = - 48 \cdot 0 + 24$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $- 48$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + 24$

Etapa 4.2.2

Some $0$ e $24$ .

$f'' (0) = 24$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $24$ .

$24$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \infty, \frac{1}{2})$ porque $f'' (0)$ é positivo.

O gráfico tem concavidade para cima

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(\frac{1}{2}, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f'' (3) = - 48 \cdot 3 + 24$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $- 48$ por $3$ .

$f'' (3) = - 144 + 24$

Etapa 5.2.2

Some $- 144$ e $24$ .

$f'' (3) = - 120$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 120$ .

$- 120$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(\frac{1}{2}, \infty)$ porque $f'' (3)$ é negativo.

O gráfico tem concavidade para baixo

Etapa 6

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

O gráfico tem concavidade para cima

O gráfico tem concavidade para baixo

Etapa 7