Cálculo Exemplos

$(x + x^{2}) e^{- 2 x}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x + x^{2}$ e $g (x) = e^{- 2 x}$ .

$(x + x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 2 x$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 2 x$ .

$(x + x^{2}) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$(x + x^{2}) (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 2 x$ .

$(x + x^{2}) (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x + x^{2}) e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x + x^{2}) e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

Etapa 3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$(x + x^{2}) e^{- 2 x} \cdot - 2 + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

Etapa 3.3.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $(x + x^{2}) e^{- 2 x}$ .

$- 2 \cdot ((x + x^{2}) e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

Etapa 3.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 (x + x^{2}) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 (x + x^{2}) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (1 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 2 (x + x^{2}) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (1 + 2 x)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(- 2 x - 2 x^{2}) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (1 + 2 x)$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 x e^{- 2 x} - 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (1 + 2 x)$

Etapa 4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 x e^{- 2 x} - 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x} \cdot 1 + e^{- 2 x} (2 x)$

Etapa 4.4

Combine os termos.

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Etapa 4.4.1

Multiplique $e^{- 2 x}$ por $1$ .

$- 2 x e^{- 2 x} - 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (2 x)$

Etapa 4.4.2

Some $- 2 x e^{- 2 x}$ e $e^{- 2 x} (2 x)$ .

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Etapa 4.4.2.1

Mova $e^{- 2 x}$ .

$- 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x} - 2 x e^{- 2 x} + 2 x e^{- 2 x}$

Etapa 4.4.2.2

Some $- 2 x e^{- 2 x}$ e $2 x e^{- 2 x}$ .

$- 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + 0$

Etapa 4.4.3

Some $- 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$ e $0$ .

$- 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$

Etapa 4.5

Reordene os termos.

$- 2 e^{- 2 x} x^{2} + e^{- 2 x}$

Etapa 4.6

Reordene os fatores em $- 2 e^{- 2 x} x^{2} + e^{- 2 x}$ .

$- 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$