Cálculo Exemplos

$\sum_{i = 1}^{25} {(i^{2} + 2)}^{2}$

Etapa 1

Simplifique a soma.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva ${(i^{2} + 2)}^{2}$ como $(i^{2} + 2) (i^{2} + 2)$ .

$(i^{2} + 2) (i^{2} + 2)$

Etapa 1.2

Expanda $(i^{2} + 2) (i^{2} + 2)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$i^{2} (i^{2} + 2) + 2 (i^{2} + 2)$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$i^{2} i^{2} + i^{2} \cdot 2 + 2 (i^{2} + 2)$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$i^{2} i^{2} + i^{2} \cdot 2 + 2 i^{2} + 2 \cdot 2$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Multiplique $i^{2}$ por $i^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$i^{2 + 2} + i^{2} \cdot 2 + 2 i^{2} + 2 \cdot 2$

Etapa 1.3.1.1.2

Some $2$ e $2$ .

$i^{4} + i^{2} \cdot 2 + 2 i^{2} + 2 \cdot 2$

Etapa 1.3.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $i^{2}$ .

$i^{4} + 2 \cdot i^{2} + 2 i^{2} + 2 \cdot 2$

Etapa 1.3.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$i^{4} + 2 i^{2} + 2 i^{2} + 4$

Etapa 1.3.2

Some $2 i^{2}$ e $2 i^{2}$ .

$i^{4} + 4 i^{2} + 4$

Etapa 1.4

Reescreva a soma.

$\sum_{i = 1}^{25} i^{4} + 4 i^{2} + 4$

Etapa 2

Divida a soma em somas menores que se enquadrem nas regras da soma.

$\sum_{i = 1}^{25} i^{4} + 4 i^{2} + 4 = \sum_{i = 1}^{25} i^{4} + 4 \sum_{i = 1}^{25} i^{2} + \sum_{i = 1}^{25} 4$

Etapa 3

Avalie $\sum_{i = 1}^{25} i^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Expanda a série para cada valor de $i$ .

$1^{4} + 2^{4} + 3^{4} + \dots + 25^{4}$

Etapa 3.2

Simplifique a forma expandida.

$2153645$

Etapa 4

Avalie $4 \sum_{i = 1}^{25} i^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

A fórmula da soma de um polinômio com grau $2$ é:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Etapa 4.2

Substitua os valores na fórmula e multiplique pelo termo da frente.

$(4) (\frac{25 (25 + 1) (2 \cdot 25 + 1)}{6})$

Etapa 4.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1

Some $25$ e $1$ .

$4 \frac{25 \cdot 26 (2 \cdot 25 + 1)}{6}$

Etapa 4.3.1.2

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.2.1

Multiplique $25$ por $26$ .

$4 \frac{650 (2 \cdot 25 + 1)}{6}$

Etapa 4.3.1.2.2

Multiplique $2$ por $25$ .

$4 \frac{650 (50 + 1)}{6}$

Etapa 4.3.1.3

Some $50$ e $1$ .

$4 \frac{650 \cdot 51}{6}$

Etapa 4.3.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Multiplique $650$ por $51$ .

$4 (\frac{33150}{6})$

Etapa 4.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$2 (2) \frac{33150}{6}$

Etapa 4.3.2.2.2

Fatore $2$ de $6$ .

$2 \cdot 2 \frac{33150}{2 \cdot 3}$

Etapa 4.3.2.2.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot 2 \frac{33150}{2 \cdot 3}$

Etapa 4.3.2.2.4

Reescreva a expressão.

$2 (\frac{33150}{3})$

Etapa 4.3.2.3

Combine $2$ e $\frac{33150}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 33150}{3}$

Etapa 4.3.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.1

Multiplique $2$ por $33150$ .

$\frac{66300}{3}$

Etapa 4.3.2.4.2

Divida $66300$ por $3$ .

$22100$

Etapa 5

Avalie $\sum_{i = 1}^{25} 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

A fórmula da soma de uma constante é:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Etapa 5.2

Substitua os valores na fórmula.

$(4) (25)$

Etapa 5.3

Multiplique $4$ por $25$ .

$100$

Etapa 6

Adicione os resultados das somas.

$2153645 + 22100 + 100$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Some $2153645$ e $22100$ .

$2175745 + 100$

Etapa 7.2

Some $2175745$ e $100$ .

$2175845$