Cálculo Exemplos

$lim_{x \to - 1} \frac{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}{x^{3} + 1}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to - 1} {(x + 1)}^{2} (x - 1)}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} {(x + 1)}^{2} \cdot lim_{x \to - 1} x - 1}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o expoente $2$ de ${(x + 1)}^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x + 1)}^{2} \cdot lim_{x \to - 1} x - 1}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Etapa 1.1.2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1)}^{2} \cdot lim_{x \to - 1} x - 1}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Etapa 1.1.2.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x + 1)}^{2} \cdot lim_{x \to - 1} x - 1}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Etapa 1.1.2.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x + 1)}^{2} \cdot (lim_{x \to - 1} x - lim_{x \to - 1} 1)}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Etapa 1.1.2.6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x + 1)}^{2} \cdot (lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Etapa 1.1.2.7

Avalie os limites substituindo $- 1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 1$ por $x$ .

$\frac{{(- 1 + 1)}^{2} \cdot (lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Etapa 1.1.2.7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 1$ por $x$ .

$\frac{{(- 1 + 1)}^{2} \cdot (- 1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Etapa 1.1.2.8

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.8.1

Some $- 1$ e $1$ .

$\frac{0^{2} \cdot (- 1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Etapa 1.1.2.8.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0 \cdot (- 1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Etapa 1.1.2.8.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0 \cdot (- 1 - 1)}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Etapa 1.1.2.8.4

Subtraia $1$ de $- 1$ .

$\frac{0 \cdot - 2}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Etapa 1.1.2.8.5

Multiplique $0$ por $- 2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{3} + lim_{x \to - 1} 1}$

Etapa 1.1.3.1.2

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + lim_{x \to - 1} 1}$

Etapa 1.1.3.1.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + 1}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 1$ por $x$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{3} + 1}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$\frac{0}{- 1 + 1}$

Etapa 1.1.3.3.2

Some $- 1$ e $1$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to - 1} \frac{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}{x^{3} + 1} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2} (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2} (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Etapa 1.3.2

Reescreva ${(x + 1)}^{2}$ como $(x + 1) (x + 1)$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x + 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Etapa 1.3.3

Expanda $(x + 1) (x + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [(x (x + 1) + 1 (x + 1)) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Etapa 1.3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Etapa 1.3.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Etapa 1.3.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Etapa 1.3.4.1.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [(x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Etapa 1.3.4.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [(x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Etapa 1.3.4.1.4

Multiplique $1$ por $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [(x^{2} + x + x + 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Etapa 1.3.4.2

Some $x$ e $x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 x + 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Etapa 1.3.5

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2} + 2 x + 1$ e $g (x) = x - 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{(x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{(x^{2} + 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{(x^{2} + 2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Etapa 1.3.8

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{(x^{2} + 2 x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Etapa 1.3.9

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{(x^{2} + 2 x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Etapa 1.3.10

Multiplique $x^{2} + 2 x + 1$ por $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Etapa 1.3.11

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Etapa 1.3.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Etapa 1.3.13

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + (x - 1) (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Etapa 1.3.14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + (x - 1) (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Etapa 1.3.15

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + (x - 1) (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Etapa 1.3.16

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + (x - 1) (2 x + 2 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Etapa 1.3.17

Some $2 x + 2$ e $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + (x - 1) (2 x + 2)}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Etapa 1.3.18

Simplifique.

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Etapa 1.3.18.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + (x - 1) (2 x) + (x - 1) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Etapa 1.3.18.2

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + x (2 x) - 1 (2 x) + (x - 1) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Etapa 1.3.18.3

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + x (2 x) - 1 (2 x) + x \cdot 2 - 1 \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Etapa 1.3.18.4

Combine os termos.

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Etapa 1.3.18.4.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + 2 (x^{1} x) - 1 (2 x) + x \cdot 2 - 1 \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Etapa 1.3.18.4.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + 2 (x^{1} x^{1}) - 1 (2 x) + x \cdot 2 - 1 \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Etapa 1.3.18.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + 2 x^{1 + 1} - 1 (2 x) + x \cdot 2 - 1 \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Etapa 1.3.18.4.4

Some $1$ e $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + 2 x^{2} - 1 (2 x) + x \cdot 2 - 1 \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Etapa 1.3.18.4.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + 2 x^{2} - 2 x + x \cdot 2 - 1 \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Etapa 1.3.18.4.6

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + 2 x^{2} - 2 x + 2 \cdot x - 1 \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Etapa 1.3.18.4.7

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + 2 x^{2} - 2 x + 2 x - 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Etapa 1.3.18.4.8

Some $- 2 x$ e $2 x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + 2 x^{2} + 0 - 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Etapa 1.3.18.4.9

Some $2 x^{2}$ e $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + 2 x^{2} - 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Etapa 1.3.18.4.10

Some $x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 2 x + 1 - 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Etapa 1.3.18.4.11

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

Etapa 1.3.19

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]}$

Etapa 1.3.20

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]}$

Etapa 1.3.21

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{3 x^{2} + 0}$

Etapa 1.3.22

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{3 x^{2}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $\frac{1}{3}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{x^{2}}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}{lim_{x \to - 1} x^{2}}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2}}$

Etapa 2.4

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2}}$

Etapa 2.5

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2}}$

Etapa 2.6

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x - lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2}}$

Etapa 2.7

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 1} x^{2}}$

Etapa 2.8

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2}}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $- 1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 1$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 {(- 1)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2}}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 1$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2}}$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 1$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1}{{(- 1)}^{2}}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1}{{(- 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1}{{(- 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - 2 - 1 \cdot 1}{{(- 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - 2 - 1}{{(- 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.5

Subtraia $2$ de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - 1}{{(- 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.6

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Etapa 4.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{1}$

Etapa 4.3

Divida $0$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 0$

Etapa 4.4

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $0$ .

$0$