Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 3 x + 1$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 3 x^{2} + 3 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$4 x^{3} - 6 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 6 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x^{3} - 6 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$4 x^{3} - 6 x + 3 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{3} - 6 x + 3 + 0$

Etapa 1.4.2

Some $4 x^{3} - 6 x + 3$ e $0$ .

$4 x^{3} - 6 x + 3$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} - 6 x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 6 + \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.4.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 6 + 0$

Etapa 2.4.2

Some $12 x^{2} - 6$ e $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 6$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$4 x^{3} - 6 x + 3 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

Diferencie.

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Etapa 4.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 3 x^{2} + 3 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$4 x^{3} - 6 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 6 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x^{3} - 6 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$4 x^{3} - 6 x + 3 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{3} - 6 x + 3 + 0$

Etapa 4.1.4.2

Some $4 x^{3} - 6 x + 3$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 x + 3$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3} - 6 x + 3$ .

$4 x^{3} - 6 x + 3$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} - 6 x + 3 = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{3} - 6 x + 3 = 0$

Etapa 5.2

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x \approx - 1.42366105$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = - 1.42366105$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = - 1.42366105$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(- 1.42366105)}^{2} - 6$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1

Eleve $- 1.42366105$ à potência de $2$ .

$12 \cdot 2.02681078 - 6$

Etapa 9.1.2

Multiplique $12$ por $2.02681078$ .

$24.32172945 - 6$

Etapa 9.2

Subtraia $6$ de $24.32172945$ .

$18.32172945$

Etapa 10

$x = - 1.42366105$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 1.42366105$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = - 1.42366105$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.42366105$ na expressão.

$f (- 1.42366105) = {(- 1.42366105)}^{4} - 3 {(- 1.42366105)}^{2} + 3 (- 1.42366105) + 1$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.1.1

Eleve $- 1.42366105$ à potência de $4$ .

$f (- 1.42366105) = 4.10796197 - 3 {(- 1.42366105)}^{2} + 3 (- 1.42366105) + 1$

Etapa 11.2.1.2

Eleve $- 1.42366105$ à potência de $2$ .

$f (- 1.42366105) = 4.10796197 - 3 \cdot 2.02681078 + 3 (- 1.42366105) + 1$

Etapa 11.2.1.3

Multiplique $- 3$ por $2.02681078$ .

$f (- 1.42366105) = 4.10796197 - 6.08043236 + 3 (- 1.42366105) + 1$

Etapa 11.2.1.4

Multiplique $3$ por $- 1.42366105$ .

$f (- 1.42366105) = 4.10796197 - 6.08043236 - 4.27098315 + 1$

Etapa 11.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 11.2.2.1

Subtraia $6.08043236$ de $4.10796197$ .

$f (- 1.42366105) = - 1.97247039 - 4.27098315 + 1$

Etapa 11.2.2.2

Subtraia $4.27098315$ de $- 1.97247039$ .

$f (- 1.42366105) = - 6.24345354 + 1$

Etapa 11.2.2.3

Some $- 6.24345354$ e $1$ .

$f (- 1.42366105) = - 5.24345354$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $- 5.24345354$ .

$y = - 5.24345354$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 3 x + 1$ .

$(- 1.42366105, - 5.24345354)$ é um mínimo local

Etapa 13