Cálculo Exemplos

$\frac{1}{e^{x} - 1}$

Etapa 1

Reescreva $\frac{1}{e^{x} - 1}$ como ${(e^{x} - 1)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(e^{x} - 1)}^{- 1}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = e^{x} - 1$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $e^{x} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $e^{x} - 1$ .

$- {(e^{x} - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

Etapa 3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- {(e^{x} - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- {(e^{x} - 1)}^{- 2} (e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- {(e^{x} - 1)}^{- 2} (e^{x} + 0)$

Etapa 5.2

Some $e^{x}$ e $0$ .

$- {(e^{x} - 1)}^{- 2} e^{x}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(e^{x} - 1)}^{2}} e^{x}$

Etapa 6.2

Combine $e^{x}$ e $\frac{1}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$ .

$- \frac{e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$