Cálculo Exemplos

$lim_{x \to - 2} \frac{3 e^{- 2 - x} - 3}{2 x^{2} - 8}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to - 2} 3 e^{- 2 - x} - 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{lim_{x \to - 2} 3 e^{- 2 - x} - lim_{x \to - 2} 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Etapa 1.2.2

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to - 2} e^{- 2 - x} - lim_{x \to - 2} 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Etapa 1.2.3

Mova o limite para o expoente.

$\frac{3 e^{lim_{x \to - 2} - 2 - x} - lim_{x \to - 2} 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Etapa 1.2.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{3 e^{- lim_{x \to - 2} 2 - lim_{x \to - 2} x} - lim_{x \to - 2} 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Etapa 1.2.5

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{3 e^{- 1 \cdot 2 - lim_{x \to - 2} x} - lim_{x \to - 2} 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Etapa 1.2.6

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{3 e^{- 1 \cdot 2 - lim_{x \to - 2} x} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Etapa 1.2.7

Simplifique os termos.

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Etapa 1.2.7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 2$ por $x$ .

$\frac{3 e^{- 1 \cdot 2 + 2} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Etapa 1.2.7.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.7.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{3 e^{- 2 + 2} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Etapa 1.2.7.2.1.2

Some $- 2$ e $2$ .

$\frac{3 e^{0} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Etapa 1.2.7.2.1.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{3 \cdot 1 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Etapa 1.2.7.2.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Etapa 1.2.7.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Etapa 1.2.7.2.2

Subtraia $3$ de $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - lim_{x \to - 2} 8}$

Etapa 1.3.1.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to - 2} x^{2} - lim_{x \to - 2} 8}$

Etapa 1.3.1.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - lim_{x \to - 2} 8}$

Etapa 1.3.1.4

Avalie o limite de $8$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 1 \cdot 8}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 2$ por $x$ .

$\frac{0}{2 {(- 2)}^{2} - 1 \cdot 8}$

Etapa 1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.3.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{2 \cdot 4 - 1 \cdot 8}$

Etapa 1.3.3.1.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{0}{8 - 1 \cdot 8}$

Etapa 1.3.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$\frac{0}{8 - 8}$

Etapa 1.3.3.2

Subtraia $8$ de $8$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to - 2} \frac{3 e^{- 2 - x} - 3}{2 x^{2} - 8} = lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{- 2 - x} - 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{- 2 - x} - 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 e^{- 2 - x} - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 e^{- 2 - x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{- 2 - x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 e^{- 2 - x}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 e^{- 2 - x}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 - x}]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 - x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 2 - x$ .

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Etapa 3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 2 - x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 - x]) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Etapa 3.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 - x]) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Etapa 3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 2 - x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} \frac{d}{d x} [- 2 - x]) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Etapa 3.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} (\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Etapa 3.3.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Etapa 3.3.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} (0 - \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Etapa 3.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} (0 - 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Etapa 3.3.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} (0 - 1)) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Etapa 3.3.8

Subtraia $1$ de $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Etapa 3.3.9

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- 2 - x}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (- 1 e^{- 2 - x}) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Etapa 3.3.10

Reescreva $- 1 e^{- 2 - x}$ como $- e^{- 2 - x}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (- e^{- 2 - x}) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Etapa 3.3.11

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x} + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Etapa 3.4

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x} + 0}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Etapa 3.5

Some $- 3 e^{- 2 - x}$ e $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

Etapa 3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Etapa 3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Etapa 3.7.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Etapa 3.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Etapa 3.7.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{4 x + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Etapa 3.8

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{4 x + 0}$

Etapa 3.9

Some $4 x$ e $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{4 x}$

Etapa 4

Mova o termo $\frac{- 3}{4}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- 3}{4} lim_{x \to - 2} \frac{e^{- 2 - x}}{x}$

Etapa 5

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{- 3}{4} \cdot \frac{lim_{x \to - 2} e^{- 2 - x}}{lim_{x \to - 2} x}$

Etapa 6

Mova o limite para o expoente.

$\frac{- 3}{4} \cdot \frac{e^{lim_{x \to - 2} - 2 - x}}{lim_{x \to - 2} x}$

Etapa 7

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{- 3}{4} \cdot \frac{e^{- lim_{x \to - 2} 2 - lim_{x \to - 2} x}}{lim_{x \to - 2} x}$

Etapa 8

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{- 3}{4} \cdot \frac{e^{- 1 \cdot 2 - lim_{x \to - 2} x}}{lim_{x \to - 2} x}$

Etapa 9

Avalie os limites substituindo $- 2$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 9.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 2$ por $x$ .

$\frac{- 3}{4} \cdot \frac{e^{- 1 \cdot 2 + 2}}{lim_{x \to - 2} x}$

Etapa 9.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 2$ por $x$ .

$\frac{- 3}{4} \cdot \frac{e^{- 1 \cdot 2 + 2}}{- 2}$

Etapa 10

Simplifique a resposta.

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Etapa 10.1

Combine.

$\frac{- 3 e^{- 1 \cdot 2 + 2}}{4 \cdot - 2}$

Etapa 10.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 3 e^{- 2 + 2}}{4 \cdot - 2}$

Etapa 10.2.2

Some $- 2$ e $2$ .

$\frac{- 3 e^{0}}{4 \cdot - 2}$

Etapa 10.2.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{- 3 \cdot 1}{4 \cdot - 2}$

Etapa 10.3

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$\frac{- 3 \cdot 1}{- 8}$

Etapa 10.4

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$\frac{- 3}{- 8}$

Etapa 10.5

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{3}{8}$