Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x) + \sin (x)}{1 - \cos (x) - \sin (x)}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \sin (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

Etapa 1.1.2.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

Etapa 1.1.2.5

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1 - \cos (0) + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

Etapa 1.1.2.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1 - \cos (0) + \sin (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

Etapa 1.1.2.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.6.1.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

Etapa 1.1.2.6.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

Etapa 1.1.2.6.1.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

Etapa 1.1.2.6.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

Etapa 1.1.2.6.3

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 1.1.3.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 1.1.3.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.1.3.5

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.3.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (0) - \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.1.3.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (0) - \sin (0)}$

Etapa 1.1.3.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.6.1.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1 - \sin (0)}$

Etapa 1.1.3.6.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 - \sin (0)}$

Etapa 1.1.3.6.1.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{1 - 1 - 0}$

Etapa 1.1.3.6.1.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{0}{1 - 1 + 0}$

Etapa 1.1.3.6.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Etapa 1.1.3.6.3

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.6.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.7

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x) + \sin (x)}{1 - \cos (x) - \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \sin (x)]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \sin (x)]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \cos (x) + \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \sin (x)]}$

Etapa 1.3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \sin (x)]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \sin (x)]}$

Etapa 1.3.4.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - - \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \sin (x)]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \sin (x)]}$

Etapa 1.3.4.4

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \sin (x)]}$

Etapa 1.3.5

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \sin (x)]}$

Etapa 1.3.6

Some $0$ e $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \sin (x)]}$

Etapa 1.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \cos (x) - \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 1.3.8

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \cos (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 1.3.9

Avalie $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Etapa 1.3.9.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \cos (x)}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 1.3.9.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \cos (x)}{0 - - \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 1.3.9.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \cos (x)}{0 + 1 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 1.3.9.4

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \cos (x)}{0 + \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 1.3.10

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Etapa 1.3.10.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sin (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \cos (x)}{0 + \sin (x) - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 1.3.10.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \cos (x)}{0 + \sin (x) - \cos (x)}$

Etapa 1.3.11

Some $0$ e $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \cos (x)}{\sin (x) - \cos (x)}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) + \cos (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) - \cos (x)}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) - \cos (x)}$

Etapa 2.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) - \cos (x)}$

Etapa 2.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) - \cos (x)}$

Etapa 2.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Etapa 2.6

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Etapa 2.7

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\sin (0) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\sin (0) + \cos (0)}{\sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\sin (0) + \cos (0)}{\sin (0) - \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 3.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\sin (0) + \cos (0)}{\sin (0) - \cos (0)}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0 + \cos (0)}{\sin (0) - \cos (0)}$

Etapa 4.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{0 + 1}{\sin (0) - \cos (0)}$

Etapa 4.1.3

Some $0$ e $1$ .

$\frac{1}{\sin (0) - \cos (0)}$

Etapa 4.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.2.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{0 - \cos (0)}$

Etapa 4.2.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{0 - 1 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{0 - 1}$

Etapa 4.2.4

Subtraia $1$ de $0$ .

$\frac{1}{- 1}$

Etapa 4.3

Mova o número negativo do denominador de $\frac{1}{- 1}$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 4.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$