Cálculo Exemplos

$\int 5 u^{2} {(3 + 2 u^{3})}^{\frac{2}{3}} d u$

Etapa 1

Como $5$ é constante com relação a $u$ , mova $5$ para fora da integral.

$5 \int u^{2} {(3 + 2 u^{3})}^{\frac{2}{3}} d u$

Etapa 2

Deixe $u_{1} = 3 + 2 u^{3}$ . Depois, $d u_{1} = 6 u^{2} d u$ , então, $\frac{1}{6} d u_{1} = u^{2} d u$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u_{1} = 3 + 2 u^{3}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $3 + 2 u^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [3 + 2 u^{3}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

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Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 + 2 u^{3}$ com relação a $u$ é $\frac{d}{d u} [3] + \frac{d}{d u} [2 u^{3}]$ .

$\frac{d}{d u} [3] + \frac{d}{d u} [2 u^{3}]$

Etapa 2.1.2.2

Como $3$ é constante em relação a $u$ , a derivada de $3$ em relação a $u$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d u} [2 u^{3}]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d u} [2 u^{3}]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $u$ , a derivada de $2 u^{3}$ em relação a $u$ é $2 \frac{d}{d u} [u^{3}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d u} [u^{3}]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$0 + 2 (3 u^{2})$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$0 + 6 u^{2}$

Etapa 2.1.4

Some $0$ e $6 u^{2}$ .

$6 u^{2}$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$5 \int {u_{1}}^{\frac{2}{3}} \frac{1}{6} d u_{1}$

Etapa 3

Combine ${u_{1}}^{\frac{2}{3}}$ e $\frac{1}{6}$ .

$5 \int \frac{{u_{1}}^{\frac{2}{3}}}{6} d u_{1}$

Etapa 4

Como $\frac{1}{6}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{6}$ para fora da integral.

$5 (\frac{1}{6} \int {u_{1}}^{\frac{2}{3}} d u_{1})$

Etapa 5

Combine $\frac{1}{6}$ e $5$ .

$\frac{5}{6} \int {u_{1}}^{\frac{2}{3}} d u_{1}$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{1}}^{\frac{2}{3}}$ com relação a $u_{1}$ é $\frac{3}{5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{5}{6} (\frac{3}{5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Reescreva $\frac{5}{6} (\frac{3}{5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C)$ como $\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$ .

$\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

Multiplique $\frac{5}{6}$ por $\frac{3}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Etapa 7.2.2

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{15}{6 \cdot 5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Etapa 7.2.3

Multiplique $6$ por $5$ .

$\frac{15}{30} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Etapa 7.2.4

Cancele o fator comum de $15$ e $30$ .

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Etapa 7.2.4.1

Fatore $15$ de $15$ .

$\frac{15 (1)}{30} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Etapa 7.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.2.4.2.1

Fatore $15$ de $30$ .

$\frac{15 \cdot 1}{15 \cdot 2} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Etapa 7.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{15 \cdot 1}{15 \cdot 2} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Etapa 7.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $3 + 2 u^{3}$ .

$\frac{1}{2} {(3 + 2 u^{3})}^{\frac{5}{3}} + C$