Cálculo Exemplos

$\int_{2}^{\infty} 2 e^{- 2 x - 4} d x$

Etapa 1

Escreva a integral como um limite à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{t} 2 e^{- 2 x - 4} d x$

Etapa 2

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{2}^{t} e^{- 2 x - 4} d x$

Etapa 3

Deixe $u = - 2 x - 4$ . Depois, $d u = - 2 d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = - 2 x - 4$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $- 2 x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x - 4]$

Etapa 3.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 3.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Etapa 3.1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 3.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 3.1.3.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 3.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.1.4.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 2 + 0$

Etapa 3.1.4.2

Some $- 2$ e $0$ .

$- 2$

Etapa 3.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = - 2 x - 4$ .

$u_{lower} = - 2 \cdot 2 - 4$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$u_{lower} = - 4 - 4$

Etapa 3.3.2

Subtraia $4$ de $- 4$ .

$u_{lower} = - 8$

Etapa 3.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = - 2 x - 4$ .

$u_{upper} = - 2 t - 4$

Etapa 3.5

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - 8$

$u_{upper} = - 2 t - 4$

Etapa 3.6

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Etapa 4.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{- 8}^{- 2 t - 4} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Etapa 5

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$lim_{t \to \infty} 2 (- \int_{- 8}^{- 2 t - 4} \frac{e^{u}}{2} d u)$

Etapa 6

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{t \to \infty} - 2 \int_{- 8}^{- 2 t - 4} \frac{e^{u}}{2} d u$

Etapa 7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$lim_{t \to \infty} - 2 (\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u)$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 2$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 2}{2} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

Etapa 8.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 8.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \cdot - 1}{2} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

Etapa 8.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

Etapa 8.2.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

Etapa 8.2.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1}{1} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

Etapa 8.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

Etapa 9

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{u}]_{- 8}^{- 2 t - 4})$

Etapa 10

Avalie $e^{u}$ em $- 2 t - 4$ e em $- 8$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{- 2 t - 4} - e^{- 8})$

Etapa 11

Avalie o limite.

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Etapa 11.1

Avalie o limite.

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Etapa 11.1.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$- lim_{t \to \infty} e^{- 2 t - 4} - e^{- 8}$

Etapa 11.1.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$- (lim_{t \to \infty} e^{- 2 t - 4} - lim_{t \to \infty} e^{- 8})$

Etapa 11.2

Como o expoente $- 2 t - 4$ se aproxima de $- \infty$ , a quantidade $e^{- 2 t - 4}$ se aproxima de $0$ .

$- (0 - lim_{t \to \infty} e^{- 8})$

Etapa 11.3

Avalie o limite.

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Etapa 11.3.1

Avalie o limite de $e^{- 8}$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$- (0 - e^{- 8})$

Etapa 11.3.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 11.3.2.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (0 - \frac{1}{e^{8}})$

Etapa 11.3.2.2

Subtraia $\frac{1}{e^{8}}$ de $0$ .

$- - \frac{1}{e^{8}}$

Etapa 11.3.2.3

Multiplique $- - \frac{1}{e^{8}}$ .

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Etapa 11.3.2.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{1}{e^{8}}$

Etapa 11.3.2.3.2

Multiplique $\frac{1}{e^{8}}$ por $1$ .

$\frac{1}{e^{8}}$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{e^{8}}$

Forma decimal:

$0.00033546 \dots$