Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{1 + \cos^{2} (x)} d x$

Etapa 1

Deixe $u = \cos (x)$ . Depois, $d u = - \sin (x) d x$ , então, $- d u = \sin (x) d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = \cos (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Etapa 1.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Etapa 1.5

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$u_{upper} = 0$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{1}^{0} \frac{- 1}{1 + u^{2}} d u$

Etapa 2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int_{1}^{0} - \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{1}^{0} \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Etapa 4

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$- \int_{1}^{0} \frac{1}{1^{2} + u^{2}} d u$

Etapa 5

A integral de $\frac{1}{1^{2} + u^{2}}$ com relação a $u$ é $\arctan (u)]_{1}^{0}$ .

$- (\arctan (u)]_{1}^{0})$

Etapa 6

Avalie $\arctan (u)$ em $0$ e em $1$ .

$- (\arctan (0) - \arctan (1))$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.1.1

O valor exato de $\arctan (0)$ é $0$ .

$- (0 - \arctan (1))$

Etapa 7.1.2

O valor exato de $\arctan (1)$ é $\frac{π}{4}$ .

$- (0 - \frac{π}{4})$

Etapa 7.2

Subtraia $\frac{π}{4}$ de $0$ .

$- - \frac{π}{4}$

Etapa 7.3

Multiplique $- - \frac{π}{4}$ .

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Etapa 7.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{π}{4}$

Etapa 7.3.2

Multiplique $\frac{π}{4}$ por $1$ .

$\frac{π}{4}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{π}{4}$

Forma decimal:

$0.78539816 \dots$