Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} - 8 x^{2} + 2$ on $[- 3, 1]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 8 x^{2} + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 8$ .

$4 x^{3} - 16 x + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.1.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{3} - 16 x + 0$

Etapa 1.1.1.3.2

Some $4 x^{3} - 16 x$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 16 x$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3} - 16 x$ .

$4 x^{3} - 16 x$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} - 16 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{3} - 16 x = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{3} - 16 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 16 x = 0$

Etapa 1.2.2.1.2

Fatore $4 x$ de $- 16 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 4) = 0$

Etapa 1.2.2.1.3

Fatore $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 4)$ .

$4 x (x^{2} - 4) = 0$

Etapa 1.2.2.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Etapa 1.2.2.3

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.3.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$4 x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Etapa 1.2.2.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$4 x (x + 2) (x - 2) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.5

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 1.2.6

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 1.2.6.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 1.2.7

A solução final são todos os valores que tornam $4 x (x + 2) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 2, 2$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $x^{4} - 8 x^{2} + 2$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

${(0)}^{4} - 8 {(0)}^{2} + 2$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 8 {(0)}^{2} + 2$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 8 \cdot 0 + 2$

Etapa 1.4.1.2.1.3

Multiplique $- 8$ por $0$ .

$0 + 0 + 2$

Etapa 1.4.1.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + 2$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Some $0$ e $2$ .

$2$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Substitua $- 2$ por $x$ .

${(- 2)}^{4} - 8 {(- 2)}^{2} + 2$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$16 - 8 {(- 2)}^{2} + 2$

Etapa 1.4.2.2.1.2

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$16 - 8 \cdot 4 + 2$

Etapa 1.4.2.2.1.3

Multiplique $- 8$ por $4$ .

$16 - 32 + 2$

Etapa 1.4.2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.2.1

Subtraia $32$ de $16$ .

$- 16 + 2$

Etapa 1.4.2.2.2.2

Some $- 16$ e $2$ .

$- 14$

Etapa 1.4.3

Avalie em $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1

Substitua $2$ por $x$ .

${(2)}^{4} - 8 {(2)}^{2} + 2$

Etapa 1.4.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$16 - 8 {(2)}^{2} + 2$

Etapa 1.4.3.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$16 - 8 \cdot 4 + 2$

Etapa 1.4.3.2.1.3

Multiplique $- 8$ por $4$ .

$16 - 32 + 2$

Etapa 1.4.3.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.2.1

Subtraia $32$ de $16$ .

$- 16 + 2$

Etapa 1.4.3.2.2.2

Some $- 16$ e $2$ .

$- 14$

Etapa 1.4.4

Liste todos os pontos.

$(0, 2), (- 2, - 14), (2, - 14)$

Etapa 2

Exclua os pontos que não estão no intervalo.

$(0, 2), (- 2, - 14)$

Etapa 3

Use o teste da primeira derivada para determinar quais pontos podem ser máximos ou mínimos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 3.2

Substitua qualquer número, como $- 4$ , do intervalo $(- \infty, - 2)$ na primeira derivada $4 x^{3} - 16 x$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f' (- 4) = 4 {(- 4)}^{3} - 16 \cdot - 4$

Etapa 3.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $3$ .

$f' (- 4) = 4 \cdot - 64 - 16 \cdot - 4$

Etapa 3.2.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 64$ .

$f' (- 4) = - 256 - 16 \cdot - 4$

Etapa 3.2.2.1.3

Multiplique $- 16$ por $- 4$ .

$f' (- 4) = - 256 + 64$

Etapa 3.2.2.2

Some $- 256$ e $64$ .

$f' (- 4) = - 192$

Etapa 3.2.2.3

A resposta final é $- 192$ .

$- 192$

Etapa 3.3

Substitua qualquer número, como $- 1$ , do intervalo $(- 2, 0)$ na primeira derivada $4 x^{3} - 16 x$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f' (- 1) = 4 {(- 1)}^{3} - 16 \cdot - 1$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f' (- 1) = 4 \cdot - 1 - 16 \cdot - 1$

Etapa 3.3.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = - 4 - 16 \cdot - 1$

Etapa 3.3.2.1.3

Multiplique $- 16$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = - 4 + 16$

Etapa 3.3.2.2

Some $- 4$ e $16$ .

$f' (- 1) = 12$

Etapa 3.3.2.3

A resposta final é $12$ .

$12$

Etapa 3.4

Substitua qualquer número, como $1$ , do intervalo $(0, 2)$ na primeira derivada $4 x^{3} - 16 x$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = 4 {(1)}^{3} - 16 \cdot 1$

Etapa 3.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = 4 \cdot 1 - 16 \cdot 1$

Etapa 3.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$f' (1) = 4 - 16 \cdot 1$

Etapa 3.4.2.1.3

Multiplique $- 16$ por $1$ .

$f' (1) = 4 - 16$

Etapa 3.4.2.2

Subtraia $16$ de $4$ .

$f' (1) = - 12$

Etapa 3.4.2.3

A resposta final é $- 12$ .

$- 12$

Etapa 3.5

Substitua qualquer número, como $4$ , do intervalo $(2, \infty)$ na primeira derivada $4 x^{3} - 16 x$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 16 \cdot 4$

Etapa 3.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1.1

Multiplique $4$ por ${(4)}^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1.1.1

Multiplique $4$ por ${(4)}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1.1.1.1

Eleve $4$ à potência de $1$ .

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 16 \cdot 4$

Etapa 3.5.2.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (4) = 4^{1 + 3} - 16 \cdot 4$

Etapa 3.5.2.1.1.2

Some $1$ e $3$ .

$f' (4) = 4^{4} - 16 \cdot 4$

Etapa 3.5.2.1.2

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$f' (4) = 256 - 16 \cdot 4$

Etapa 3.5.2.1.3

Multiplique $- 16$ por $4$ .

$f' (4) = 256 - 64$

Etapa 3.5.2.2

Subtraia $64$ de $256$ .

$f' (4) = 192$

Etapa 3.5.2.3

A resposta final é $192$ .

$192$

Etapa 3.6

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = - 2$ , então $x = - 2$ é um mínimo local.

$x = - 2$ é um mínimo local

Etapa 3.7

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = 0$ , então $x = 0$ é um máximo local.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 3.8

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = 2$ , então $x = 2$ é um mínimo local.

$x = 2$ é um mínimo local

Etapa 3.9

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{4} - 8 x^{2} + 2$ .

$x = - 2$ é um mínimo local

$x = 0$ é um máximo local

$x = 2$ é um mínimo local

$x = - 2$ é um mínimo local

$x = 0$ é um máximo local

$x = 2$ é um mínimo local

Etapa 4

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(0, 2)$

Mínimo absoluto: $(- 2, - 14)$

Etapa 5