Cálculo Exemplos

$\frac{\ln^{2} (x)}{x}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \ln^{2} (x)$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)] - \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\ln (x)$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x (2 u \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\ln (x)$ .

$\frac{x (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x (2 \ln (x) \frac{1}{x}) - \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 4.1

Combine $\frac{1}{x}$ e $2$ .

$\frac{x (\frac{2}{x} \ln (x)) - \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.2

Simplifique os termos.

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Etapa 4.2.1

Combine $\frac{2}{x}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{x \frac{2 \ln (x)}{x} - \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.2.2

Combine $x$ e $\frac{2 \ln (x)}{x}$ .

$\frac{\frac{x (2 \ln (x))}{x} - \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.2.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 4.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{x (2 \ln (x))}{x} - \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.2.3.2

Divida $2 \ln (x)$ por $1$ .

$\frac{2 \ln (x) - \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 \ln (x) - \ln^{2} (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 4.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 \ln (x) - \ln^{2} (x)}{x^{2}}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Simplifique $2 \ln (x)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\frac{\ln (x^{2}) - \ln^{2} (x)}{x^{2}}$

Etapa 5.2

Reordene os termos.

$\frac{- \ln^{2} (x) + \ln (x^{2})}{x^{2}}$