Cálculo Exemplos

$2 x^{3} + 4 - x^{2} + y^{2} - x = 0$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (2 x^{3} + 4 - x^{2} + y^{2} - x) = \frac{d}{d x} (0)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} + 4 - x^{2} + y^{2} - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} + 0 - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 x^{2} + 0 - (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.4.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$6 x^{2} + 0 - 2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.5

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Etapa 2.5.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.5.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$6 x^{2} + 0 - 2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.5.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 x^{2} + 0 - 2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.5.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$6 x^{2} + 0 - 2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.5.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$6 x^{2} + 0 - 2 x + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.6

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 2.6.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} + 0 - 2 x + 2 y y' - \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 x^{2} + 0 - 2 x + 2 y y' - 1 \cdot 1$

Etapa 2.6.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$6 x^{2} + 0 - 2 x + 2 y y' - 1$

Etapa 2.7

Simplifique.

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Etapa 2.7.1

Some $6 x^{2}$ e $0$ .

$6 x^{2} - 2 x + 2 y y' - 1$

Etapa 2.7.2

Reordene os termos.

$6 x^{2} + 2 y y' - 2 x - 1$

Etapa 3

Como $0$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$6 x^{2} + 2 y y' - 2 x - 1 = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1

Subtraia $6 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$2 y y' - 2 x - 1 = - 6 x^{2}$

Etapa 5.1.2

Some $2 x$ aos dois lados da equação.

$2 y y' - 1 = - 6 x^{2} + 2 x$

Etapa 5.1.3

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 y y' = - 6 x^{2} + 2 x + 1$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $2 y y' = - 6 x^{2} + 2 x + 1$ por $2 y$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $2 y y' = - 6 x^{2} + 2 x + 1$ por $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 6 x^{2}}{2 y} + \frac{2 x}{2 y} + \frac{1}{2 y}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 6 x^{2}}{2 y} + \frac{2 x}{2 y} + \frac{1}{2 y}$

Etapa 5.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 6 x^{2}}{2 y} + \frac{2 x}{2 y} + \frac{1}{2 y}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 6 x^{2}}{2 y} + \frac{2 x}{2 y} + \frac{1}{2 y}$

Etapa 5.2.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 6 x^{2}}{2 y} + \frac{2 x}{2 y} + \frac{1}{2 y}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $- 6$ e $2$ .

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Etapa 5.2.3.1.1.1

Fatore $2$ de $- 6 x^{2}$ .

$y' = \frac{2 (- 3 x^{2})}{2 y} + \frac{2 x}{2 y} + \frac{1}{2 y}$

Etapa 5.2.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.3.1.1.2.1

Fatore $2$ de $2 y$ .

$y' = \frac{2 (- 3 x^{2})}{2 (y)} + \frac{2 x}{2 y} + \frac{1}{2 y}$

Etapa 5.2.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2 (- 3 x^{2})}{2 y} + \frac{2 x}{2 y} + \frac{1}{2 y}$

Etapa 5.2.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{y} + \frac{2 x}{2 y} + \frac{1}{2 y}$

Etapa 5.2.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{y} + \frac{2 x}{2 y} + \frac{1}{2 y}$

Etapa 5.2.3.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.3.1.3.1

Cancele o fator comum.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{y} + \frac{2 x}{2 y} + \frac{1}{2 y}$

Etapa 5.2.3.1.3.2

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{y} + \frac{x}{y} + \frac{1}{2 y}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2}}{y} + \frac{x}{y} + \frac{1}{2 y}$