Cálculo Exemplos

$\frac{2 x + 3}{2 - x}$

Etapa 1

Escreva $\frac{2 x + 3}{2 - x}$ como uma função.

$f (x) = \frac{2 x + 3}{2 - x}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{2 x + 3}{2 - x} d x$

Etapa 4

Reordene $2$ e $- x$ .

$\int \frac{2 x + 3}{- x + 2} d x$

Etapa 5

Divida $2 x + 3$ por $- x + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$2$

$2 x$

$3$

Etapa 5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $- x$ .

				-	$2$
-	$x$	+	$2$		$2 x$	+	$3$

Etapa 5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				-	$2$
-	$x$	+	$2$		$2 x$	+	$3$
				+	$2 x$	-	$4$

Etapa 5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x - 4$ .

				-	$2$
-	$x$	+	$2$		$2 x$	+	$3$
				-	$2 x$	+	$4$

Etapa 5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				-	$2$
-	$x$	+	$2$		$2 x$	+	$3$
				-	$2 x$	+	$4$
						+	$7$

Etapa 5.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int - 2 + \frac{7}{- x + 2} d x$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - 2 d x + \int \frac{7}{- x + 2} d x$

Etapa 7

Aplique a regra da constante.

$- 2 x + C + \int \frac{7}{- x + 2} d x$

Etapa 8

Como $7$ é constante com relação a $x$ , mova $7$ para fora da integral.

$- 2 x + C + 7 \int \frac{1}{- x + 2} d x$

Etapa 9

Deixe $u = - x + 2$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Deixe $u = - x + 2$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Reescreva.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 9.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 9.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- 2 x + C + 7 \int \frac{- 1}{u} d u$

Etapa 10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 2 x + C + 7 \int - \frac{1}{u} d u$

Etapa 11

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- 2 x + C + 7 (- \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 12

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$- 2 x + C - 7 \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 13

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- 2 x + C - 7 (\ln (| u |) + C)$

Etapa 14

Simplifique.

$- 2 x - 7 \ln (| u |) + C$

Etapa 15

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x + 2$ .

$- 2 x - 7 \ln (| - x + 2 |) + C$

Etapa 16

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{2 x + 3}{2 - x}$ .

$F (x) =$ $- 2 x - 7 \ln (| - x + 2 |) + C$