Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{\sin (t)}{\cos^{2} (t)} d t$

Etapa 1

Deixe $u = \cos (t)$ . Depois, $d u = - \sin (t) d t$ , então, $- d u = \sin (t) d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = \cos (t)$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\cos (t)$ em relação a $t$ é $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $t$ em $u = \cos (t)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Etapa 1.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $t$ em $u = \cos (t)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{6})$

Etapa 1.5

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{- 1}{u^{2}} d u$

Etapa 2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} - \frac{1}{u^{2}} d u$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{1}{u^{2}} d u$

Etapa 4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.1

Mova $u^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Etapa 4.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} u^{2 \cdot - 1} d u$

Etapa 4.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} u^{- 2} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 2}$ com relação a $u$ é $- u^{- 1}$ .

$- (- u^{- 1}]_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}})$

Etapa 6

Avalie $- u^{- 1}$ em $\frac{\sqrt{3}}{2}$ e em $1$ .

$- ((- {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{- 1}) + 1^{- 1})$

Etapa 7

Altere o sinal do expoente reescrevendo a base como seu inverso.

$- (- \frac{2}{\sqrt{3}} + 1^{- 1})$

Etapa 8

Um elevado a qualquer potência é um.

$- (- \frac{2}{\sqrt{3}} + 1)$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- (- \frac{2}{\sqrt{3}} + 1)$

Forma decimal:

$0.15470053 \dots$