Cálculo Exemplos

$x e^{x} d x$

Etapa 1

Escreva $x e^{x} d x$ como uma função.

$f (x) = x e^{x} d x$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int x e^{x} d x d x$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int x^{1} x e^{x} d d x$

Etapa 4.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int x^{1} x^{1} e^{x} d d x$

Etapa 4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int x^{1 + 1} e^{x} d d x$

Etapa 4.4

Some $1$ e $1$ .

$\int x^{2} e^{x} d d x$

Etapa 5

Como $d$ é constante com relação a $x$ , mova $d$ para fora da integral.

$d \int x^{2} e^{x} d x$

Etapa 6

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x^{2}$ e $d v = e^{x}$ .

$d (x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x)$

Etapa 7

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$d (x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x))$

Etapa 8

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$d (x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x)$

Etapa 9

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{x}$ .

$d (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x))$

Etapa 10

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$d (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)))$

Etapa 11

Reescreva $d (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)))$ como $d (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$ .

$d (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$

Etapa 12

A resposta é a primitiva da função $f (x) = x e^{x} d x$ .

$F (x) =$ $d (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$