Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{4} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

Etapa 1

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1

Reescreva $4$ como $2$ mais $2$

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {\sec (θ)}^{2 + 2} \tan^{4} (θ) d θ$

Etapa 1.2

Reescreva ${\sec (θ)}^{2 + 2}$ como $\sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

Etapa 2

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\sec^{2} (θ)$ como $1 + \tan^{2} (θ)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 + \tan^{2} (θ)) \sec^{2} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

Etapa 3

Deixe $u = \tan (θ)$ . Depois, $d u = \sec^{2} (θ) d θ$ , então, $\frac{1}{\sec^{2} (θ)} d u = d θ$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = \tan (θ)$ . Encontre $\frac{d u}{d θ}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $\tan (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\tan (θ)$ em relação a $θ$ é $\sec^{2} (θ)$ .

$\sec^{2} (θ)$

Etapa 3.2

Substitua o limite inferior por $θ$ em $u = \tan (θ)$ .

$u_{lower} = \tan (0)$

Etapa 3.3

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 3.4

Substitua o limite superior por $θ$ em $u = \tan (θ)$ .

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 3.5

O valor exato de $\tan (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$u_{upper} = 1$

Etapa 3.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Etapa 3.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{1} (1 + u^{2}) u^{4} d u$

Etapa 4

Multiplique $(1 + u^{2}) u^{4}$ .

$\int_{0}^{1} 1 u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Multiplique $u^{4}$ por $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

Etapa 5.2

Multiplique $u^{2}$ por $u^{4}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int_{0}^{1} u^{4} + u^{2 + 4} d u$

Etapa 5.2.2

Some $2$ e $4$ .

$\int_{0}^{1} u^{4} + u^{6} d u$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{1} u^{4} d u + \int_{0}^{1} u^{6} d u$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{4}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} u^{6} d u$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{6}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1}$

Etapa 9

Combine $\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1}$ e $\frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1}$

Etapa 10

Substitua e simplifique.

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Etapa 10.1

Avalie $\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{7} u^{7}$ em $1$ e em $0$ .

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7}) - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Etapa 10.2

Simplifique.

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Etapa 10.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{5} \cdot 1 + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Etapa 10.2.2

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $1$ .

$\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Etapa 10.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot 1 - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Etapa 10.2.4

Multiplique $\frac{1}{7}$ por $1$ .

$\frac{1}{5} + \frac{1}{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Etapa 10.2.5

Para escrever $\frac{1}{5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{7}{7}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Etapa 10.2.6

Para escrever $\frac{1}{7}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Etapa 10.2.7

Escreva cada expressão com um denominador comum de $35$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 10.2.7.1

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $\frac{7}{7}$ .

$\frac{7}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Etapa 10.2.7.2

Multiplique $5$ por $7$ .

$\frac{7}{35} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Etapa 10.2.7.3

Multiplique $\frac{1}{7}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{7}{35} + \frac{5}{7 \cdot 5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Etapa 10.2.7.4

Multiplique $7$ por $5$ .

$\frac{7}{35} + \frac{5}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Etapa 10.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{7 + 5}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Etapa 10.2.9

Some $7$ e $5$ .

$\frac{12}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Etapa 10.2.10

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{12}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0 + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Etapa 10.2.11

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $0$ .

$\frac{12}{35} - (0 + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Etapa 10.2.12

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{12}{35} - (0 + \frac{1}{7} \cdot 0)$

Etapa 10.2.13

Multiplique $\frac{1}{7}$ por $0$ .

$\frac{12}{35} - (0 + 0)$

Etapa 10.2.14

Some $0$ e $0$ .

$\frac{12}{35} - 0$

Etapa 10.2.15

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{12}{35} + 0$

Etapa 10.2.16

Some $\frac{12}{35}$ e $0$ .

$\frac{12}{35}$

Etapa 11

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{12}{35}$

Forma decimal:

$0.3\overline{428571}$