Cálculo Exemplos

$y^{2} + x^{2} = - x y + 3$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y^{2} + x^{2}) = \frac{d}{d x} (- x y + 3)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 y y' + 2 x$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x y + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x y$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$- \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$- (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 3.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 3.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 3.2.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$- (x y' + y) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 3.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$- (x y' + y) + 0$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- (x y') - y + 0$

Etapa 3.4.2

Some $- x y' - y$ e $0$ .

$- x y' - y$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 y y' + 2 x = - x y' - y$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Some $x y'$ aos dois lados da equação.

$2 y y' + 2 x + x y' = - y$

Etapa 5.2

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$2 y y' + x y' = - y - 2 x$

Etapa 5.3

Fatore $y'$ de $2 y y' + x y'$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $y'$ de $2 y y'$ .

$y' (2 y) + x (y') = - y - 2 x$

Etapa 5.3.2

Fatore $y'$ de $x y'$ .

$y' (2 y) + y' (x) = - y - 2 x$

Etapa 5.3.3

Fatore $y'$ de $y' (2 y) + y' (x)$ .

$y' (2 y + x) = - y - 2 x$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $y' (2 y + x) = - y - 2 x$ por $2 y + x$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $y' (2 y + x) = - y - 2 x$ por $2 y + x$ .

$\frac{y' (2 y + x)}{2 y + x} = \frac{- y}{2 y + x} + \frac{- 2 x}{2 y + x}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $2 y + x$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (2 y + x)}{2 y + x} = \frac{- y}{2 y + x} + \frac{- 2 x}{2 y + x}$

Etapa 5.4.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- y}{2 y + x} + \frac{- 2 x}{2 y + x}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- y - 2 x}{2 y + x}$

Etapa 5.4.3.2

Fatore $- 1$ de $- y$ .

$y' = \frac{- (y) - 2 x}{2 y + x}$

Etapa 5.4.3.3

Fatore $- 1$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (y) - (2 x)}{2 y + x}$

Etapa 5.4.3.4

Fatore $- 1$ de $- (y) - (2 x)$ .

$y' = \frac{- (y + 2 x)}{2 y + x}$

Etapa 5.4.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.4.3.5.1

Reescreva $- (y + 2 x)$ como $- 1 (y + 2 x)$ .

$y' = \frac{- 1 (y + 2 x)}{2 y + x}$

Etapa 5.4.3.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y + 2 x}{2 y + x}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y + 2 x}{2 y + x}$