Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{5 x^{3} + 8 x^{3}}{3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Etapa 1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Some $5 x^{3}$ e $8 x^{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{13 x^{3}}{3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Etapa 1.2

Mova o termo $13$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$13 lim_{x \to 0} \frac{x^{3}}{3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$13 \frac{lim_{x \to 0} x^{3}}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$13 \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{3}}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Etapa 2.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$13 \frac{0^{3}}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Etapa 2.1.2.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$13 \frac{0}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$13 \frac{0}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - lim_{x \to 0} 16 x^{2}}$

Etapa 2.1.3.2

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$13 \frac{0}{3 lim_{x \to 0} x^{4} - lim_{x \to 0} 16 x^{2}}$

Etapa 2.1.3.3

Mova o expoente $4$ de $x^{4}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$13 \frac{0}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} - lim_{x \to 0} 16 x^{2}}$

Etapa 2.1.3.4

Mova o termo $16$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$13 \frac{0}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} - 16 lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 2.1.3.5

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$13 \frac{0}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} - 16 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.6

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$13 \frac{0}{3 \cdot 0^{4} - 16 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$13 \frac{0}{3 \cdot 0^{4} - 16 \cdot 0^{2}}$

Etapa 2.1.3.7

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.7.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$13 \frac{0}{3 \cdot 0 - 16 \cdot 0^{2}}$

Etapa 2.1.3.7.1.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$13 \frac{0}{0 - 16 \cdot 0^{2}}$

Etapa 2.1.3.7.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$13 \frac{0}{0 - 16 \cdot 0}$

Etapa 2.1.3.7.1.4

Multiplique $- 16$ por $0$ .

$13 \frac{0}{0 + 0}$

Etapa 2.1.3.7.2

Some $0$ e $0$ .

$13 (\frac{0}{0})$

Etapa 2.1.3.7.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$13 (\frac{0}{0})$

Etapa 2.1.3.8

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$13 (\frac{0}{0})$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$13 (\frac{0}{0})$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{3}}{3 x^{4} - 16 x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{4} - 16 x^{2}]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$13 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{4} - 16 x^{2}]}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [3 x^{4} - 16 x^{2}]}$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{4} - 16 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]$ .

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]}$

Etapa 2.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{4}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]}$

Etapa 2.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]}$

Etapa 2.3.4.3

Multiplique $4$ por $3$ .

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]}$

Etapa 2.3.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{12 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{12 x^{3} - 16 \cdot 2 x}$

Etapa 2.3.5.3

Multiplique $2$ por $- 16$ .

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{12 x^{3} - 32 x}$

Etapa 3

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{12 x^{3} - 32 x}$

Etapa 4

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$13 \cdot 3 \frac{lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - 32 x}$

Etapa 4.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$13 \cdot 3 \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - 32 x}$

Etapa 4.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$13 \cdot 3 \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - 32 x}$

Etapa 4.1.2.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - 32 x}$

Etapa 4.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - lim_{x \to 0} 32 x}$

Etapa 4.1.3.2

Mova o termo $12$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{12 lim_{x \to 0} x^{3} - lim_{x \to 0} 32 x}$

Etapa 4.1.3.3

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$13 \cdot 3 \frac{0}{12 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - lim_{x \to 0} 32 x}$

Etapa 4.1.3.4

Mova o termo $32$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{12 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 32 lim_{x \to 0} x}$

Etapa 4.1.3.5

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{12 \cdot 0^{3} - 32 lim_{x \to 0} x}$

Etapa 4.1.3.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{12 \cdot 0^{3} - 32 \cdot 0}$

Etapa 4.1.3.6

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.6.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{12 \cdot 0 - 32 \cdot 0}$

Etapa 4.1.3.6.1.2

Multiplique $12$ por $0$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{0 - 32 \cdot 0}$

Etapa 4.1.3.6.1.3

Multiplique $- 32$ por $0$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{0 + 0}$

Etapa 4.1.3.6.2

Some $0$ e $0$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{0}$

Etapa 4.1.3.6.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$13 \cdot 3 \frac{0}{0}$

Etapa 4.1.3.7

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$13 \cdot 3 \frac{0}{0}$

Etapa 4.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$13 \cdot 3 \frac{0}{0}$

Etapa 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{12 x^{3} - 32 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{3} - 32 x]}$

Etapa 4.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{3} - 32 x]}$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [12 x^{3} - 32 x]}$

Etapa 4.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $12 x^{3} - 32 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x]$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x]}$

Etapa 4.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{3}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x]}$

Etapa 4.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{12 \cdot 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 32 x]}$

Etapa 4.3.4.3

Multiplique $3$ por $12$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{36 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 32 x]}$

Etapa 4.3.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- 32 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.1

Como $- 32$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 32 x$ em relação a $x$ é $- 32 \frac{d}{d x} [x]$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{36 x^{2} - 32 \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{36 x^{2} - 32 \cdot 1}$

Etapa 4.3.5.3

Multiplique $- 32$ por $1$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{36 x^{2} - 32}$

Etapa 4.4

Cancele o fator comum de $2$ e $36 x^{2} - 32$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 (x)}{36 x^{2} - 32}$

Etapa 4.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1

Fatore $2$ de $36 x^{2}$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 (x)}{2 \cdot 18 x^{2} - 32}$

Etapa 4.4.2.2

Fatore $2$ de $- 32$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cdot 18 x^{2} + 2 \cdot - 16}$

Etapa 4.4.2.3

Fatore $2$ de $2 (18 x^{2}) + 2 (- 16)$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 (x)}{2 (18 x^{2} - 16)}$

Etapa 4.4.2.4

Cancele o fator comum.

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (18 x^{2} - 16)}$

Etapa 4.4.2.5

Reescreva a expressão.

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{x}{18 x^{2} - 16}$

Etapa 5

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$13 \cdot 3 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 18 x^{2} - 16}$

Etapa 5.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$13 \cdot 3 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 18 x^{2} - lim_{x \to 0} 16}$

Etapa 5.3

Mova o termo $18$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$13 \cdot 3 \frac{lim_{x \to 0} x}{18 lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 16}$

Etapa 5.4

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$13 \cdot 3 \frac{lim_{x \to 0} x}{18 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 16}$

Etapa 5.5

Avalie o limite de $16$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$13 \cdot 3 \frac{lim_{x \to 0} x}{18 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 16}$

Etapa 6

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{18 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 16}$

Etapa 6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{18 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 16}$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Multiplique $13$ por $3$ .

$39 \frac{0}{18 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 16}$

Etapa 7.2

Cancele o fator comum de $0$ e $18 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Fatore $- 1$ de $18 \cdot 0^{2}$ .

$39 \frac{0}{- (- 18 \cdot 0^{2}) - 1 \cdot 16}$

Etapa 7.2.2

Fatore $- 1$ de $- 1 \cdot 16$ .

$39 \frac{0}{- (- 18 \cdot 0^{2}) - 1 (16)}$

Etapa 7.2.3

Fatore $- 1$ de $- (- 18 \cdot 0^{2}) - 1 (16)$ .

$39 \frac{0}{- (- 18 \cdot 0^{2} + 16)}$

Etapa 7.2.4

Reescreva $- (- 18 \cdot 0^{2} + 16)$ como $- 1 (- 18 \cdot 0^{2} + 16)$ .

$39 \frac{0}{- 1 (- 18 \cdot 0^{2} + 16)}$

Etapa 7.2.5

Fatore $2$ de $0$ .

$39 \frac{2 (0)}{- 1 (- 18 \cdot 0^{2} + 16)}$

Etapa 7.2.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.6.1

Fatore $2$ de $- 1 (- 18 \cdot 0^{2} + 16)$ .

$39 \frac{2 (0)}{2 (- 1 (- 9 \cdot 0^{2} + 8))}$

Etapa 7.2.6.2

Cancele o fator comum.

$39 \frac{2 \cdot 0}{2 (- 1 (- 9 \cdot 0^{2} + 8))}$

Etapa 7.2.6.3

Reescreva a expressão.

$39 \frac{0}{- 1 (- 9 \cdot 0^{2} + 8)}$

Etapa 7.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$39 \frac{0}{- 1 (- 9 \cdot 0 + 8)}$

Etapa 7.3.2

Multiplique $- 9$ por $0$ .

$39 \frac{0}{- 1 (0 + 8)}$

Etapa 7.3.3

Some $0$ e $8$ .

$39 \frac{0}{- 1 \cdot 8}$

Etapa 7.4

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$39 (\frac{0}{- 8})$

Etapa 7.5

Divida $0$ por $- 8$ .

$39 \cdot 0$

Etapa 7.6

Multiplique $39$ por $0$ .

$0$