Cálculo Exemplos

$\int 2 x^{2} (x - 2) (4 x - 5) d x$

Etapa 1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int (x^{2} (x - 2)) (4 x - 5) d x$

Etapa 2

Deixe $u_{1} = 4 x - 5$ . Depois, $d u_{1} = 4 d x$ , então, $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u_{1} = 4 x - 5$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $4 x - 5$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Etapa 2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 2.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.1.4.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 + 0$

Etapa 2.1.4.2

Some $4$ e $0$ .

$4$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$2 \int {(\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4})}^{2} (\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4} - 2) u_{1} \frac{1}{4} d u_{1}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$2 \int {(\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4})}^{2} (\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4} - 2 \cdot \frac{4}{4}) u_{1} \frac{1}{4} d u_{1}$

Etapa 3.2

Combine $- 2$ e $\frac{4}{4}$ .

$2 \int {(\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4})}^{2} (\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4} + \frac{- 2 \cdot 4}{4}) u_{1} \frac{1}{4} d u_{1}$

Etapa 3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 \int {(\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4})}^{2} (\frac{u_{1}}{4} + \frac{5 - 2 \cdot 4}{4}) u_{1} \frac{1}{4} d u_{1}$

Etapa 3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.1

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$2 \int {(\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4})}^{2} (\frac{u_{1}}{4} + \frac{5 - 8}{4}) u_{1} \frac{1}{4} d u_{1}$

Etapa 3.4.2

Subtraia $8$ de $5$ .

$2 \int {(\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4})}^{2} (\frac{u_{1}}{4} + \frac{- 3}{4}) u_{1} \frac{1}{4} d u_{1}$

Etapa 3.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 \int {(\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4})}^{2} (\frac{u_{1}}{4} - \frac{3}{4}) u_{1} \frac{1}{4} d u_{1}$

Etapa 3.6

Combine $\frac{1}{4}$ e ${(\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4})}^{2}$ .

$2 \int \frac{{(\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4})}^{2}}{4} (\frac{u_{1}}{4} - \frac{3}{4}) u_{1} d u_{1}$

Etapa 3.7

Combine $u_{1}$ e $\frac{{(\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4})}^{2}}{4}$ .

$2 \int \frac{u_{1} {(\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4})}^{2}}{4} (\frac{u_{1}}{4} - \frac{3}{4}) d u_{1}$

Etapa 4

Deixe $u_{2} = \frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4}$ . Depois, $d u_{2} = \frac{1}{4} d u_{1}$ , então, $4 d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u_{2} = \frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4}]$

Etapa 4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{u_{1}}{4} + \frac{5}{4}$ com relação a $u_{1}$ é $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{4}] + \frac{d}{d u_{1}} [\frac{5}{4}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{4}] + \frac{d}{d u_{1}} [\frac{5}{4}]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{4}]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $\frac{1}{4}$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $\frac{u_{1}}{4}$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{4} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [\frac{5}{4}]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [\frac{5}{4}]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$\frac{1}{4} + \frac{d}{d u_{1}} [\frac{5}{4}]$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1.4.1

Como $\frac{5}{4}$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $\frac{5}{4}$ em relação a $u_{1}$ é $0$ .

$\frac{1}{4} + 0$

Etapa 4.1.4.2

Some $\frac{1}{4}$ e $0$ .

$\frac{1}{4}$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$2 \int (4 u_{2} - 5) {u_{2}}^{2} (\frac{4 u_{2} - 5}{4} - \frac{3}{4}) d u_{2}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 \int (4 u_{2} - 5) {u_{2}}^{2} \frac{4 u_{2} - 5 - 3}{4} d u_{2}$

Etapa 5.2

Subtraia $3$ de $- 5$ .

$2 \int (4 u_{2} - 5) {u_{2}}^{2} \frac{4 u_{2} - 8}{4} d u_{2}$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $4 u_{2} - 8$ e $4$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $4$ de $4 u_{2}$ .

$2 \int (4 u_{2} - 5) {u_{2}}^{2} \frac{4 (u_{2}) - 8}{4} d u_{2}$

Etapa 5.3.2

Fatore $4$ de $- 8$ .

$2 \int (4 u_{2} - 5) {u_{2}}^{2} \frac{4 (u_{2}) + 4 \cdot - 2}{4} d u_{2}$

Etapa 5.3.3

Fatore $4$ de $4 (u_{2}) + 4 (- 2)$ .

$2 \int (4 u_{2} - 5) {u_{2}}^{2} \frac{4 (u_{2} - 2)}{4} d u_{2}$

Etapa 5.3.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.4.1

Fatore $4$ de $4$ .

$2 \int (4 u_{2} - 5) {u_{2}}^{2} \frac{4 (u_{2} - 2)}{4 (1)} d u_{2}$

Etapa 5.3.4.2

Cancele o fator comum.

$2 \int (4 u_{2} - 5) {u_{2}}^{2} \frac{4 (u_{2} - 2)}{4 \cdot 1} d u_{2}$

Etapa 5.3.4.3

Reescreva a expressão.

$2 \int (4 u_{2} - 5) {u_{2}}^{2} \frac{u_{2} - 2}{1} d u_{2}$

Etapa 5.3.4.4

Divida $u_{2} - 2$ por $1$ .

$2 \int (4 u_{2} - 5) {u_{2}}^{2} (u_{2} - 2) d u_{2}$

Etapa 6

Deixe $u_{3} = u_{2} - 2$ . Depois, $d u_{3} = d u_{2}$ . Reescreva usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u_{3} = u_{2} - 2$ . Encontre $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $u_{2} - 2$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2} - 2]$

Etapa 6.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $u_{2} - 2$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [- 2]$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [- 2]$

Etapa 6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{2}} [- 2]$

Etapa 6.1.4

Como $- 2$ é constante em relação a $u_{2}$ , a derivada de $- 2$ em relação a $u_{2}$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 6.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$2 \int (4 (u_{3} + 2) - 5) {(u_{3} + 2)}^{2} u_{3} d u_{3}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Reescreva ${(u_{3} + 2)}^{2}$ como $(u_{3} + 2) (u_{3} + 2)$ .

$2 \int (4 (u_{3} + 2) - 5) ((u_{3} + 2) (u_{3} + 2)) u_{3} d u_{3}$

Etapa 7.2