Cálculo Exemplos

$y' = 2 x y$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial.

$\frac{d y}{d x} = 2 x y$

Etapa 2

Separe as variáveis.

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Etapa 2.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (2 x y)$

Etapa 2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{y} (x y)$

Etapa 2.2.2

Combine $2$ e $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (x y)$

Etapa 2.2.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 2.2.3.1

Fatore $y$ de $x y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y x)$

Etapa 2.2.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y x)$

Etapa 2.2.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 x$

Etapa 2.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y} d y = 2 x d x$

Etapa 3

Integre os dois lados.

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Etapa 3.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 2 x d x$

Etapa 3.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 2 x d x$

Etapa 3.3

Integre o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int x d x$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Etapa 3.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.3.3.1

Reescreva $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique.

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Etapa 3.3.3.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Etapa 3.3.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Etapa 3.3.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

Etapa 3.3.3.2.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

Etapa 3.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = x^{2} + C$

Etapa 4

Resolva $y$ .

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Etapa 4.1

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{x^{2} + C}$

Etapa 4.2

Reescreva $\ln (| y |) = x^{2} + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x^{2} + C} = | y |$

Etapa 4.3

Resolva $y$ .

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Etapa 4.3.1

Reescreva a equação como $| y | = e^{x^{2} + C}$ .

$| y | = e^{x^{2} + C}$

Etapa 4.3.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{x^{2} + C}$

Etapa 5

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 5.1

Reescreva $e^{x^{2} + C}$ como $e^{x^{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{x^{2}} e^{C}$

Etapa 5.2

Reordene $e^{x^{2}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{x^{2}}$

Etapa 5.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C e^{x^{2}}$