Cálculo Exemplos

$\int_{3}^{5} \frac{3 x + 5}{x^{2} + 2 x - 3} d x$

Etapa 1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1.1

Fatore $x^{2} + 2 x - 3$ usando o método AC.

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Etapa 1.1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 3$ e cuja soma é $2$ .

$- 1, 3$

Etapa 1.1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{3 x + 5}{(x - 1) (x + 3)}$

Etapa 1.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{x - 1}$

Etapa 1.1.3

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 3}$

Etapa 1.1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(x - 1) (x + 3)$ .

$\frac{(3 x + 5) (x - 1) (x + 3)}{(x - 1) (x + 3)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Etapa 1.1.5

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(3 x + 5) (x - 1) (x + 3)}{(x - 1) (x + 3)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Etapa 1.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(3 x + 5) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Etapa 1.1.6

Cancele o fator comum de $x + 3$ .

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Etapa 1.1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(3 x + 5) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Etapa 1.1.6.2

Divida $3 x + 5$ por $1$ .

$3 x + 5 = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Etapa 1.1.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.7.1

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 1.1.7.1.1

Cancele o fator comum.

$3 x + 5 = \frac{A (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Etapa 1.1.7.1.2

Divida $(A) (x + 3)$ por $1$ .

$3 x + 5 = (A) (x + 3) + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Etapa 1.1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x + 5 = A x + A \cdot 3 + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Etapa 1.1.7.3

Mova $3$ para a esquerda de $A$ .

$3 x + 5 = A x + 3 \cdot A + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Etapa 1.1.7.4

Cancele o fator comum de $x + 3$ .

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Etapa 1.1.7.4.1

Cancele o fator comum.

$3 x + 5 = A x + 3 A + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Etapa 1.1.7.4.2

Divida $(B) (x - 1)$ por $1$ .

$3 x + 5 = A x + 3 A + (B) (x - 1)$

Etapa 1.1.7.5

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x + 5 = A x + 3 A + B x + B \cdot - 1$

Etapa 1.1.7.6

Mova $- 1$ para a esquerda de $B$ .

$3 x + 5 = A x + 3 A + B x - 1 \cdot B$

Etapa 1.1.7.7

Reescreva $- 1 B$ como $- B$ .

$3 x + 5 = A x + 3 A + B x - B$

Etapa 1.1.8

Mova $3 A$ .

$3 x + 5 = A x + B x + 3 A - B$

Etapa 1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$3 = A + B$

Etapa 1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$5 = 3 A - 1 B$

Etapa 1.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$3 = A + B$

$5 = 3 A - 1 B$

$3 = A + B$

$5 = 3 A - 1 B$

Etapa 1.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 1.3.1

Resolva $A$ em $3 = A + B$ .

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Etapa 1.3.1.1

Reescreva a equação como $A + B = 3$ .

$A + B = 3$

$5 = 3 A - 1 B$

Etapa 1.3.1.2

Subtraia $B$ dos dois lados da equação.

$A = 3 - B$

$5 = 3 A - 1 B$

$A = 3 - B$

$5 = 3 A - 1 B$

Etapa 1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $3 - B$ em cada equação.

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Etapa 1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $5 = 3 A - 1 B$ por $3 - B$ .

$5 = 3 (3 - B) - 1 B$

$A = 3 - B$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.2.2.1

Simplifique $3 (3 - B) - 1 B$ .

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Etapa 1.3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 = 3 \cdot 3 + 3 (- B) - 1 B$

$A = 3 - B$

Etapa 1.3.2.2.1.1.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$5 = 9 + 3 (- B) - 1 B$

$A = 3 - B$

Etapa 1.3.2.2.1.1.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$5 = 9 - 3 B - 1 B$

$A = 3 - B$

Etapa 1.3.2.2.1.1.4

Reescreva $- 1 B$ como $- B$ .

$5 = 9 - 3 B - B$

$A = 3 - B$

$5 = 9 - 3 B - B$

$A = 3 - B$

Etapa 1.3.2.2.1.2

Subtraia $B$ de $- 3 B$ .

$5 = 9 - 4 B$

$A = 3 - B$

$5 = 9 - 4 B$

$A = 3 - B$

$5 = 9 - 4 B$

$A = 3 - B$

$5 = 9 - 4 B$

$A = 3 - B$

Etapa 1.3.3

Resolva $B$ em $5 = 9 - 4 B$ .

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Etapa 1.3.3.1

Reescreva a equação como $9 - 4 B = 5$ .

$9 - 4 B = 5$

$A = 3 - B$

Etapa 1.3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.3.3.2.1

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$- 4 B = 5 - 9$

$A = 3 - B$

Etapa 1.3.3.2.2

Subtraia $9$ de $5$ .

$- 4 B = - 4$

$A = 3 - B$

$- 4 B = - 4$

$A = 3 - B$

Etapa 1.3.3.3

Divida cada termo em $- 4 B = - 4$ por $- 4$ e simplifique.

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Etapa 1.3.3.3.1

Divida cada termo em $- 4 B = - 4$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

$A = 3 - B$

Etapa 1.3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

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Etapa 1.3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

$A = 3 - B$

Etapa 1.3.3.3.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 4}{- 4}$

$A = 3 - B$

$B = \frac{- 4}{- 4}$

$A = 3 - B$

$B = \frac{- 4}{- 4}$

$A = 3 - B$

Etapa 1.3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.3.3.3.1

Divida $- 4$ por $- 4$ .

$B = 1$

$A = 3 - B$

$B = 1$

$A = 3 - B$

$B = 1$

$A = 3 - B$

$B = 1$

$A = 3 - B$

Etapa 1.3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $1$ em cada equação.

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Etapa 1.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = 3 - B$ por $1$ .

$A = 3 - (1)$

$B = 1$

Etapa 1.3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.4.2.1

Simplifique $3 - (1)$ .

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Etapa 1.3.4.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$A = 3 - 1$

$B = 1$

Etapa 1.3.4.2.1.2

Subtraia $1$ de $3$ .

$A = 2$

$B = 1$

$A = 2$

$B = 1$

$A = 2$

$B = 1$

$A = 2$

$B = 1$

Etapa 1.3.5

Liste todas as soluções.

$A = 2, B = 1$

Etapa 1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 3}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{2}{x - 1} + \frac{1}{x + 3}$

Etapa 1.5

Remova o zero da expressão.

$\int_{3}^{5} \frac{2}{x - 1} + \frac{1}{x + 3} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{3}^{5} \frac{2}{x - 1} d x + \int_{3}^{5} \frac{1}{x + 3} d x$

Etapa 3

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int_{3}^{5} \frac{1}{x - 1} d x + \int_{3}^{5} \frac{1}{x + 3} d x$

Etapa 4

Deixe $u_{1} = x - 1$ . Depois, $d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u_{1} = x - 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 4.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 4.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{1} = x - 1$ .

$u_{lower} = 3 - 1$

Etapa 4.3

Subtraia $1$ de $3$ .

$u_{lower} = 2$

Etapa 4.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{1} = x - 1$ .

$u_{upper} = 5 - 1$

Etapa 4.5

Subtraia $1$ de $5$ .

$u_{upper} = 4$

Etapa 4.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 4$

Etapa 4.7

Reescreva o problema usando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e os novos limites de integração.

$2 \int_{2}^{4} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{3}^{5} \frac{1}{x + 3} d x$

Etapa 5

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{2}^{4}) + \int_{3}^{5} \frac{1}{x + 3} d x$

Etapa 6

Deixe $u_{2} = x + 3$ . Depois, $d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u_{2} = x + 3$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Etapa 6.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 6.1.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 6.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 6.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{2} = x + 3$ .

$u_{lower} = 3 + 3$

Etapa 6.3

Some $3$ e $3$ .

$u_{lower} = 6$

Etapa 6.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{2} = x + 3$ .

$u_{upper} = 5 + 3$

Etapa 6.5

Some $5$ e $3$ .

$u_{upper} = 8$

Etapa 6.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 6$

$u_{upper} = 8$

Etapa 6.7

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{2}^{4}) + \int_{6}^{8} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 7

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{2}^{4}) + \ln (| u_{2} |)]_{6}^{8}$

Etapa 8

Substitua e simplifique.

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Etapa 8.1

Avalie $\ln (| u_{1} |)$ em $4$ e em $2$ .

$2 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |)) + \ln (| u_{2} |)]_{6}^{8}$

Etapa 8.2

Avalie $\ln (| u_{2} |)$ em $8$ e em $6$ .

$2 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |)) + (\ln (| 8 |)) - \ln (| 6 |)$

Etapa 8.3

Remova os parênteses desnecessários.

$2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 2 |)) + \ln (| 8 |) - \ln (| 6 |)$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \ln (\frac{| 4 |}{| 2 |}) + \ln (| 8 |) - \ln (| 6 |)$

Etapa 9.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \ln (\frac{| 4 |}{| 2 |}) + \ln (\frac{| 8 |}{| 6 |})$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $4$ é $4$ .

$2 \ln (\frac{4}{| 2 |}) + \ln (\frac{| 8 |}{| 6 |})$

Etapa 10.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$2 \ln (\frac{4}{2}) + \ln (\frac{| 8 |}{| 6 |})$

Etapa 10.3

Divida $4$ por $2$ .

$2 \ln (2) + \ln (\frac{| 8 |}{| 6 |})$

Etapa 10.4

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $8$ é $8$ .

$2 \ln (2) + \ln (\frac{8}{| 6 |})$

Etapa 10.5

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $6$ é $6$ .

$2 \ln (2) + \ln (\frac{8}{6})$

Etapa 10.6

Cancele o fator comum de $8$ e $6$ .

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Etapa 10.6.1

Fatore $2$ de $8$ .

$2 \ln (2) + \ln (\frac{2 (4)}{6})$

Etapa 10.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 10.6.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$2 \ln (2) + \ln (\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3})$

Etapa 10.6.2.2

Cancele o fator comum.

$2 \ln (2) + \ln (\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3})$

Etapa 10.6.2.3

Reescreva a expressão.

$2 \ln (2) + \ln (\frac{4}{3})$

Etapa 11

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$2 \ln (2) + \ln (\frac{4}{3})$

Forma decimal:

$1.67397643 \dots$

Etapa 12