Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 4} \frac{x^{2} - 6 x + 8}{2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 4} x^{2} - 6 x + 8}{lim_{x \to 4} 2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} 6 x + lim_{x \to 4} 8}{lim_{x \to 4} 2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} 6 x + lim_{x \to 4} 8}{lim_{x \to 4} 2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 8}{lim_{x \to 4} 2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x}$

Etapa 1.1.2.4

Avalie o limite de $8$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 4} x + 8}{lim_{x \to 4} 2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x}$

Etapa 1.1.2.5

Avalie os limites substituindo $4$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$\frac{4^{2} - 6 lim_{x \to 4} x + 8}{lim_{x \to 4} 2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x}$

Etapa 1.1.2.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$\frac{4^{2} - 6 \cdot 4 + 8}{lim_{x \to 4} 2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x}$

Etapa 1.1.2.6

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{16 - 6 \cdot 4 + 8}{lim_{x \to 4} 2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x}$

Etapa 1.1.2.6.1.2

Multiplique $- 6$ por $4$ .

$\frac{16 - 24 + 8}{lim_{x \to 4} 2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x}$

Etapa 1.1.2.6.2

Subtraia $24$ de $16$ .

$\frac{- 8 + 8}{lim_{x \to 4} 2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x}$

Etapa 1.1.2.6.3

Some $- 8$ e $8$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} 2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} 2 x^{3} - lim_{x \to 4} 4 x^{2} - lim_{x \to 4} 16 x}$

Etapa 1.1.3.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 4} x^{3} - lim_{x \to 4} 4 x^{2} - lim_{x \to 4} 16 x}$

Etapa 1.1.3.3

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to 4} x)}^{3} - lim_{x \to 4} 4 x^{2} - lim_{x \to 4} 16 x}$

Etapa 1.1.3.4

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to 4} x)}^{3} - 4 lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} 16 x}$

Etapa 1.1.3.5

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to 4} x)}^{3} - 4 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} 16 x}$

Etapa 1.1.3.6

Mova o termo $16$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to 4} x)}^{3} - 4 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 16 lim_{x \to 4} x}$

Etapa 1.1.3.7

Avalie os limites substituindo $4$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$\frac{0}{2 \cdot 4^{3} - 4 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 16 lim_{x \to 4} x}$

Etapa 1.1.3.7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$\frac{0}{2 \cdot 4^{3} - 4 \cdot 4^{2} - 16 lim_{x \to 4} x}$

Etapa 1.1.3.7.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$\frac{0}{2 \cdot 4^{3} - 4 \cdot 4^{2} - 16 \cdot 4}$

Etapa 1.1.3.8

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.8.1.1

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$\frac{0}{2 \cdot 64 - 4 \cdot 4^{2} - 16 \cdot 4}$

Etapa 1.1.3.8.1.2

Multiplique $2$ por $64$ .

$\frac{0}{128 - 4 \cdot 4^{2} - 16 \cdot 4}$

Etapa 1.1.3.8.1.3

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{128 - 4 \cdot 16 - 16 \cdot 4}$

Etapa 1.1.3.8.1.4

Multiplique $- 4$ por $16$ .

$\frac{0}{128 - 64 - 16 \cdot 4}$

Etapa 1.1.3.8.1.5

Multiplique $- 16$ por $4$ .

$\frac{0}{128 - 64 - 64}$

Etapa 1.1.3.8.2

Subtraia $64$ de $128$ .

$\frac{0}{64 - 64}$

Etapa 1.1.3.8.3

Subtraia $64$ de $64$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.8.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.9

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 4} \frac{x^{2} - 6 x + 8}{2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 8]}{\frac{d}{d x} [2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 8]}{\frac{d}{d x} [2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 6 x + 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 6 + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x]}$

Etapa 1.3.5

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 6 + 0}{\frac{d}{d x} [2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x]}$

Etapa 1.3.6

Some $2 x - 6$ e $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 6}{\frac{d}{d x} [2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x]}$

Etapa 1.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 6}{\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]}$

Etapa 1.3.8

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.8.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 6}{2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]}$

Etapa 1.3.8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 6}{2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]}$

Etapa 1.3.8.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 6}{6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]}$

Etapa 1.3.9

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.9.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 6}{6 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]}$

Etapa 1.3.9.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 6}{6 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16 x]}$

Etapa 1.3.9.3

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 6}{6 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} [- 16 x]}$

Etapa 1.3.10

Avalie $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.10.1

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16 x$ em relação a $x$ é $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 6}{6 x^{2} - 8 x - 16 \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.10.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 6}{6 x^{2} - 8 x - 16 \cdot 1}$

Etapa 1.3.10.3

Multiplique $- 16$ por $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 6}{6 x^{2} - 8 x - 16}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $2 x - 6$ e $6 x^{2} - 8 x - 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 (x) - 6}{6 x^{2} - 8 x - 16}$

Etapa 1.4.2

Fatore $2$ de $- 6$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 (x) + 2 (- 3)}{6 x^{2} - 8 x - 16}$

Etapa 1.4.3

Fatore $2$ de $2 (x) + 2 (- 3)$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 (x - 3)}{6 x^{2} - 8 x - 16}$

Etapa 1.4.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.4.1

Fatore $2$ de $6 x^{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 (x - 3)}{2 (3 x^{2}) - 8 x - 16}$

Etapa 1.4.4.2

Fatore $2$ de $- 8 x$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 (x - 3)}{2 (3 x^{2}) + 2 (- 4 x) - 16}$

Etapa 1.4.4.3

Fatore $2$ de $2 (3 x^{2}) + 2 (- 4 x)$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 (x - 3)}{2 (3 x^{2} - 4 x) - 16}$

Etapa 1.4.4.4

Fatore $2$ de $- 16$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 (x - 3)}{2 (3 x^{2} - 4 x) + 2 (- 8)}$

Etapa 1.4.4.5

Fatore $2$ de $2 (3 x^{2} - 4 x) + 2 (- 8)$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 (x - 3)}{2 (3 x^{2} - 4 x - 8)}$

Etapa 1.4.4.6

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 4} \frac{2 (x - 3)}{2 (3 x^{2} - 4 x - 8)}$

Etapa 1.4.4.7

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 4} \frac{x - 3}{3 x^{2} - 4 x - 8}$

Etapa 2

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} x - 3}{lim_{x \to 4} 3 x^{2} - 4 x - 8}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 3}{lim_{x \to 4} 3 x^{2} - 4 x - 8}$

Etapa 2.3

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 4} 3 x^{2} - 4 x - 8}$

Etapa 2.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 4} 3 x^{2} - lim_{x \to 4} 4 x - lim_{x \to 4} 8}$

Etapa 2.5

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 3}{3 lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} 4 x - lim_{x \to 4} 8}$

Etapa 2.6

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 3}{3 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} 4 x - lim_{x \to 4} 8}$

Etapa 2.7

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 3}{3 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 8}$

Etapa 2.8

Avalie o limite de $8$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 3}{3 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 8}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $4$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$\frac{4 - 1 \cdot 3}{3 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 8}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$\frac{4 - 1 \cdot 3}{3 \cdot 4^{2} - 4 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 8}$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$\frac{4 - 1 \cdot 3}{3 \cdot 4^{2} - 4 \cdot 4 - 1 \cdot 8}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{4 - 3}{3 \cdot 4^{2} - 4 \cdot 4 - 1 \cdot 8}$

Etapa 4.1.2

Subtraia $3$ de $4$ .

$\frac{1}{3 \cdot 4^{2} - 4 \cdot 4 - 1 \cdot 8}$

Etapa 4.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{3 \cdot 16 - 4 \cdot 4 - 1 \cdot 8}$

Etapa 4.2.2

Multiplique $3$ por $16$ .

$\frac{1}{48 - 4 \cdot 4 - 1 \cdot 8}$

Etapa 4.2.3

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$\frac{1}{48 - 16 - 1 \cdot 8}$

Etapa 4.2.4

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$\frac{1}{48 - 16 - 8}$

Etapa 4.2.5

Subtraia $16$ de $48$ .

$\frac{1}{32 - 8}$

Etapa 4.2.6

Subtraia $8$ de $32$ .

$\frac{1}{24}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{24}$

Forma decimal:

$0.041\overline{6}$