Cálculo Exemplos

$\int_{\frac{1}{12}}^{\frac{1}{4}} \csc (2 π t) \cot (2 π t) d t$

Etapa 1

Deixe $u_{2} = \csc (2 π t)$ . Depois, $d u_{2} = - 2 π \cot (2 π t) \csc (2 π t) d t$ , então, $\frac{1}{- 2 π} d u_{2} = \cot (2 π t) \csc (2 π t) d t$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{2} = \csc (2 π t)$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\csc (2 π t)$ .

$\frac{d}{d t} [\csc (2 π t)]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \csc (t)$ e $g (t) = 2 π t$ .

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Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 π t$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d t} [2 π t]$

Etapa 1.1.2.2

A derivada de $\csc (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d t} [2 π t]$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 π t$ .

$- \csc (2 π t) \cot (2 π t) \frac{d}{d t} [2 π t]$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.3.1

Como $2 π$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 π t$ em relação a $t$ é $2 π \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \csc (2 π t) \cot (2 π t) (2 π \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 1.1.3.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \csc (2 π t) \cot (2 π t) (π \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 1.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \csc (2 π t) \cot (2 π t) (π \cdot 1)$

Etapa 1.1.3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.3.4.1

Multiplique $π$ por $1$ .

$- 2 \csc (2 π t) \cot (2 π t) π$

Etapa 1.1.3.4.2

Reordene os fatores de $- 2 \csc (2 π t) \cot (2 π t) π$ .

$- 2 π \cot (2 π t) \csc (2 π t)$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $t$ em $u_{2} = \csc (2 π t)$ .

$u_{lower} = \csc (2 π \frac{1}{12})$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.3.1.1

Fatore $2$ de $2 π$ .

$u_{lower} = \csc (2 (π) \frac{1}{12})$

Etapa 1.3.1.2

Fatore $2$ de $12$ .

$u_{lower} = \csc (2 (π) \frac{1}{2 (6)})$

Etapa 1.3.1.3

Cancele o fator comum.

$u_{lower} = \csc (2 π \frac{1}{2 \cdot 6})$

Etapa 1.3.1.4

Reescreva a expressão.

$u_{lower} = \csc (π \frac{1}{6})$

Etapa 1.3.2

Combine $π$ e $\frac{1}{6}$ .

$u_{lower} = \csc (\frac{π}{6})$

Etapa 1.3.3

O valor exato de $\csc (\frac{π}{6})$ é $2$ .

$u_{lower} = 2$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $t$ em $u_{2} = \csc (2 π t)$ .

$u_{upper} = \csc (2 π \frac{1}{4})$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.5.1.1

Fatore $2$ de $2 π$ .

$u_{upper} = \csc (2 (π) \frac{1}{4})$

Etapa 1.5.1.2

Fatore $2$ de $4$ .

$u_{upper} = \csc (2 (π) \frac{1}{2 (2)})$

Etapa 1.5.1.3

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = \csc (2 π \frac{1}{2 \cdot 2})$

Etapa 1.5.1.4

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = \csc (π \frac{1}{2})$

Etapa 1.5.2

Combine $π$ e $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \csc (\frac{π}{2})$

Etapa 1.5.3

O valor exato de $\csc (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$u_{upper} = 1$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 1$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$\int_{2}^{1} \frac{1}{- 2 π} d u_{2}$

Etapa 2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int_{2}^{1} - \frac{1}{2 π} d u_{2}$

Etapa 3

Aplique a regra da constante.

$- \frac{1}{2 π} u_{2}]_{2}^{1}$

Etapa 4

Substitua e simplifique.

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Etapa 4.1

Avalie $- \frac{1}{2 π} u_{2}$ em $1$ e em $2$ .

$(- \frac{1}{2 π} \cdot 1) + \frac{1}{2 π} \cdot 2$

Etapa 4.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{2 π} + \frac{1}{2 π} \cdot 2$

Etapa 4.2.2

Combine $\frac{1}{2 π}$ e $2$ .

$- \frac{1}{2 π} + \frac{2}{2 π}$

Etapa 4.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.3.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{2 π} + \frac{2}{2 π}$

Etapa 4.2.3.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{2 π} + \frac{1}{π}$

Etapa 4.2.4

Para escrever $\frac{1}{π}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 π} + \frac{1}{π} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 4.2.5

Escreva cada expressão com um denominador comum de $2 π$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.2.5.1

Multiplique $\frac{1}{π}$ por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 π} + \frac{2}{π \cdot 2}$

Etapa 4.2.5.2

Reordene os fatores de $π \cdot 2$ .

$- \frac{1}{2 π} + \frac{2}{2 π}$

Etapa 4.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 1 + 2}{2 π}$

Etapa 4.2.7

Some $- 1$ e $2$ .

$\frac{1}{2 π}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{2 π}$

Forma decimal:

$0.15915494 \dots$