Cálculo Exemplos

$\int \frac{\sin (x)}{\sqrt{4 + \cos^{2} (x)}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = \cos (x)$ . Depois, $d u = - \sin (x) d x$ , então, $- d u = \sin (x) d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = \cos (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- 1}{\sqrt{4 + u^{2}}} d u$

Etapa 2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int - \frac{1}{\sqrt{4 + u^{2}}} d u$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 + u^{2}}} d u$

Etapa 4

Deixe $u = 2 \tan (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d u = 2 \sec^{2} (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec^{2} (t)$ é positivo.

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.1

Simplifique $\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}$ .

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Etapa 5.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.1.1

Aplique a regra do produto a $2 \tan (t)$ .

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 + 2^{2} \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 5.1.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 + 4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 5.1.2

Fatore $4$ de $4$ .

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 (1) + 4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 5.1.3

Fatore $4$ de $4 \tan^{2} (t)$ .

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 5.1.4

Fatore $4$ de $4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))$ .

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 (1 + \tan^{2} (t))}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 5.1.5

Reorganize os termos.

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 5.1.6

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 \sec^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 5.1.7

Reescreva $4 \sec^{2} (t)$ como ${(2 \sec (t))}^{2}$ .

$- \int \frac{1}{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 5.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$- \int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $2 \sec (t)$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $2 \sec (t)$ de $2 \sec^{2} (t)$ .

$- \int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\sec (t))) d t$

Etapa 5.2.2

Cancele o fator comum.

$- \int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \sec (t)) d t$

Etapa 5.2.3

Reescreva a expressão.

$- \int \sec (t) d t$

Etapa 6

A integral de $\sec (t)$ com relação a $t$ é $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)$

Etapa 7

Simplifique.

$- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

Etapa 8

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 8.1

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arctan (\frac{u}{2})$ .

$- \ln (| \sec (\arctan (\frac{u}{2})) + \tan (\arctan (\frac{u}{2})) |) + C$

Etapa 8.2

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$- \ln (| \sec (\arctan (\frac{\cos (x)}{2})) + \tan (\arctan (\frac{\cos (x)}{2})) |) + C$

Etapa 9

Reordene os termos.

$- \ln (| \sec (\arctan (\frac{1}{2} \cos (x))) + \tan (\arctan (\frac{1}{2} \cos (x))) |) + C$