Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{π x}} d x$

Etapa 1

Escreva a integral como um limite à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{\sqrt{π x}} d x$

Etapa 2

Deixe $u = π x$ . Depois, $d u = π d x$ , então, $\frac{1}{π} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = π x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Etapa 2.1.2

Como $π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $π x$ em relação a $x$ é $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Etapa 2.1.4

Multiplique $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = π x$ .

$u_{lower} = π \cdot 1$

Etapa 2.3

Multiplique $π$ por $1$ .

$u_{lower} = π$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = π x$ .

$u_{upper} = π t$

Etapa 2.5

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = π$

$u_{upper} = π t$

Etapa 2.6

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$lim_{t \to \infty} \int_{π}^{π t} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{π} d u$

Etapa 3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{π}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{π}^{π t} \frac{1}{\sqrt{u} π} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{π}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{π}$ para fora da integral.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 5

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Etapa 5.2

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Etapa 5.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 5.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Etapa 5.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Etapa 5.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{π}^{π t}$

Etapa 7

Combine $\frac{1}{π}$ e $2 u^{\frac{1}{2}}]_{π}^{π t}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 u^{\frac{1}{2}}]_{π}^{π t}}{π}$

Etapa 8

Avalie $2 u^{\frac{1}{2}}$ em $π t$ e em $π$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 {(π t)}^{\frac{1}{2}} - 2 π^{\frac{1}{2}}}{π}$

Etapa 9

Avalie o limite.

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Etapa 9.1

Avalie o limite.

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Etapa 9.1.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} 2 {(π t)}^{\frac{1}{2}} - 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Etapa 9.1.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} 2 {(π t)}^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Etapa 9.2

Como a função ${(π t)}^{\frac{1}{2}}$ se aproxima de $\infty$ , a constante positiva $2$ vezes a função também se aproxima de $\infty$ .

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Etapa 9.2.1

Considere o limite com o múltiplo constante $2$ removido.

$\frac{lim_{t \to \infty} {(π t)}^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Etapa 9.2.2

Reescreva ${(π t)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{π t}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \sqrt{π t} - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Etapa 9.2.3

À medida que $t$ se aproxima de $\infty$ dos radicais, o valor chega a $\infty$ .

$\frac{\infty - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Etapa 9.3

Avalie o limite.

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Etapa 9.3.1

Avalie o limite de $2 π^{\frac{1}{2}}$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty - 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Etapa 9.3.2

Avalie o limite de $π$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty - 2 π^{\frac{1}{2}}}{π}$

Etapa 9.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.3.3.1

Infinito mais ou menos um número é infinito.

$\frac{\infty}{π}$

Etapa 9.3.3.2

Infinito dividido por tudo o que é finito e diferente de zero é infinito.

$\infty$