Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sqrt{1 + \tan^{2} (x)} d x$

Etapa 1

Simplifique.

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Etapa 1.1

Reorganize os termos.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sqrt{\tan^{2} (x) + 1} d x$

Etapa 1.2

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sqrt{\sec^{2} (x)} d x$

Etapa 1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec (x) d x$

Etapa 2

A integral de $\sec (x)$ com relação a $x$ é $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)]_{0}^{\frac{π}{3}}$

Etapa 3

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1

Avalie $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ em $\frac{π}{3}$ e em $0$ .

$\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Etapa 3.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.1

O valor exato de $\sec (\frac{π}{3})$ é $2$ .

$\ln (| 2 + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Etapa 3.2.2

O valor exato de $\tan (\frac{π}{3})$ é $\sqrt{3}$ .

$\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Etapa 3.2.3

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| 1 + \tan (0) |)$

Etapa 3.2.4

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| 1 + 0 |)$

Etapa 3.2.5

Some $1$ e $0$ .

$\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| 1 |)$

Etapa 3.2.6

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 + \sqrt{3} |}{| 1 |})$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

$2 + \sqrt{3}$ é aproximadamente $3.7320508$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| 1 |})$

Etapa 3.3.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{1})$

Etapa 3.3.3

Divida $2 + \sqrt{3}$ por $1$ .

$\ln (2 + \sqrt{3})$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\ln (2 + \sqrt{3})$

Forma decimal:

$1.31695789 \dots$