Cálculo Exemplos

$y = {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{9}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{9}$ e $g (x) = \sin^{5} (x^{3} + 7)$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sin^{5} (x^{3} + 7)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{9}] \frac{d}{d x} [\sin^{5} (x^{3} + 7)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 9$ .

$9 {u_{1}}^{8} \frac{d}{d x} [\sin^{5} (x^{3} + 7)]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sin^{5} (x^{3} + 7)$ .

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} \frac{d}{d x} [\sin^{5} (x^{3} + 7)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = \sin (x^{3} + 7)$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\sin (x^{3} + 7)$ .

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [\sin (x^{3} + 7)])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [\sin (x^{3} + 7)])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\sin (x^{3} + 7)$ .

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (5 \sin^{4} (x^{3} + 7) \frac{d}{d x} [\sin (x^{3} + 7)])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x^{3} + 7$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $x^{3} + 7$ .

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (5 \sin^{4} (x^{3} + 7) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [x^{3} + 7]))$

Etapa 3.2

A derivada de $\sin (u_{3})$ em relação a $u_{3}$ é $\cos (u_{3})$ .

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (5 \sin^{4} (x^{3} + 7) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [x^{3} + 7]))$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $x^{3} + 7$ .

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (5 \sin^{4} (x^{3} + 7) (\cos (x^{3} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3} + 7]))$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (5 \sin^{4} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]))$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (5 \sin^{4} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [7]))$

Etapa 4.3

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (5 \sin^{4} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) (3 x^{2} + 0))$

Etapa 4.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.4.1

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (5 \sin^{4} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) (3 x^{2}))$

Etapa 4.4.2

Multiplique $3$ por $5$ .

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (15 \sin^{4} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) x^{2})$

Etapa 4.4.3

Reordene os fatores de $15 \sin^{4} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) x^{2}$ .

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (15 x^{2} \sin^{4} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7))$

Etapa 5

Combine os termos.

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Etapa 5.1

Multiplique os expoentes em ${(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8}$ .

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Etapa 5.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 {\sin (x^{3} + 7)}^{5 \cdot 8} (15 x^{2} \sin^{4} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7))$

Etapa 5.1.2

Multiplique $5$ por $8$ .

$9 \sin^{40} (x^{3} + 7) (15 x^{2} \sin^{4} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7))$

Etapa 5.2

Multiplique $15$ por $9$ .

$135 \sin^{40} (x^{3} + 7) (x^{2} \sin^{4} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7))$

Etapa 5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$135 (x^{2} {\sin (x^{3} + 7)}^{40 + 4} \cos (x^{3} + 7))$

Etapa 5.4

Some $40$ e $4$ .

$135 x^{2} \sin^{44} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7)$