Cálculo Exemplos

${(4 - \frac{1}{3} x^{2})}^{3}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 4 - \frac{1}{3} x^{2}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 - \frac{1}{3} x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [4 - \frac{1}{3} x^{2}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [4 - \frac{1}{3} x^{2}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 - \frac{1}{3} x^{2}$ .

$3 {(4 - \frac{1}{3} x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [4 - \frac{1}{3} x^{2}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{3}$ .

$3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} \frac{d}{d x} [4 - \frac{1}{3} x^{2}]$

Etapa 2.2

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{3}$ .

$3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} \frac{d}{d x} [4 - \frac{x^{2}}{3}]$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - \frac{x^{2}}{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{3}]$ .

$3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{3}])$

Etapa 2.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{3}])$

Etapa 2.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{3}]$ .

$3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{3}]$

Etapa 2.6

Como $- \frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{x^{2}}{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} (- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.7

Simplifique os termos.

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Etapa 2.7.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.7.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 3$ .

$\frac{- 3}{3} {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.7.3

Combine $\frac{- 3}{3}$ e ${(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2}$ .

$\frac{- 3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.7.4

Cancele o fator comum de $- 3$ e $3$ .

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Etapa 2.7.4.1

Fatore $3$ de $- 3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2}$ .

$\frac{3 (- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2})}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.7.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.7.4.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 (- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2})}{3 (1)} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.7.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2})}{3 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.7.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2}}{1} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.7.4.2.4

Divida $- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2}$ por $1$ .

$- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} (2 x)$

Etapa 2.9

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.9.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} x$

Etapa 2.9.2

Reordene os fatores de $- 2 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} x$ .

$- 2 x {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2}$