Cálculo Exemplos

$\int y^{2} {(4 - y^{3})}^{\frac{2}{3}} d y$

Etapa 1

Deixe $u = 4 - y^{3}$ . Depois, $d u = - 3 y^{2} d y$ , então, $- \frac{1}{3} d u = y^{2} d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 4 - y^{3}$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $4 - y^{3}$ .

$\frac{d}{d y} [4 - y^{3}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - y^{3}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Etapa 1.1.2.2

Como $4$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $4$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- y^{3}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y^{3}$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$0 - \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$0 - (3 y^{2})$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$0 - 3 y^{2}$

Etapa 1.1.4

Subtraia $3 y^{2}$ de $0$ .

$- 3 y^{2}$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u^{\frac{2}{3}} \frac{1}{- 3} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int u^{\frac{2}{3}} (- \frac{1}{3}) d u$

Etapa 2.2

Combine $u^{\frac{2}{3}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{u^{\frac{2}{3}}}{3} d u$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{u^{\frac{2}{3}}}{3} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{3} \int u^{\frac{2}{3}} d u)$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{2}{3}}$ com relação a $u$ é $\frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}}$ .

$- \frac{1}{3} (\frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}} + C)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Reescreva $- \frac{1}{3} (\frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}} + C)$ como $- \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}} + C$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}} + C$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $\frac{3}{5}$ por $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{3}{5 \cdot 3} u^{\frac{5}{3}} + C$

Etapa 6.2.2

Multiplique $5$ por $3$ .

$- \frac{3}{15} u^{\frac{5}{3}} + C$

Etapa 6.2.3

Cancele o fator comum de $3$ e $15$ .

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Etapa 6.2.3.1

Fatore $3$ de $3$ .

$- \frac{3 (1)}{15} u^{\frac{5}{3}} + C$

Etapa 6.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.2.3.2.1

Fatore $3$ de $15$ .

$- \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 5} u^{\frac{5}{3}} + C$

Etapa 6.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 5} u^{\frac{5}{3}} + C$

Etapa 6.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{5} u^{\frac{5}{3}} + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 - y^{3}$ .

$- \frac{1}{5} {(4 - y^{3})}^{\frac{5}{3}} + C$