Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}^{x}$

Etapa 1

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$lim_{x \to \infty} {(\frac{5 x^{2}}{5 x^{2}} + \frac{3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}^{x}$

Etapa 1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to \infty} {(\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}^{x}$

Etapa 2

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva ${(\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}^{x}$ como $e^{\ln ({(\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}^{x})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}^{x})}$

Etapa 2.2

Expanda $\ln ({(\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$lim_{x \to \infty} e^{x \ln (\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}$

Etapa 3

Mova o limite para o expoente.

$e^{lim_{x \to \infty} x \ln (\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}$

Etapa 4

Reescreva $x \ln (\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})$ como $\frac{\ln (\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}{\frac{1}{x}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}{\frac{1}{x}}}$

Etapa 5

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 5.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 5.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 5.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 5.1.2.1.1

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 5.1.2.1.2

Mova o termo $\frac{1}{5}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{x^{2}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 5.1.2.1.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.2.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} + 3 a^{2} + 3 \cdot 1}{x^{2}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 5.1.2.1.3.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} + 3 a^{2} + 3}{x^{2}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 5.1.2.2

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x^{2}$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3 a^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 5.1.2.3

Avalie o limite.

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Etapa 5.1.2.3.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.3.1.1

Cancele o fator comum.

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3 a^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 5.1.2.3.1.2

Divida $5$ por $1$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{3 a^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 5.1.2.3.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 5.1.2.3.2.1

Cancele o fator comum.

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{3 a^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 5.1.2.3.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{3 a^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 5.1.2.3.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{3 a^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 5.1.2.3.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 5 + lim_{x \to \infty} \frac{3 a^{2}}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 5.1.2.3.5

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot \frac{5 + lim_{x \to \infty} \frac{3 a^{2}}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 5.1.2.3.6

Mova o termo $3 a^{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot \frac{5 + 3 a^{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 5.1.2.4

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot \frac{5 + 3 a^{2} \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 5.1.2.5

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot \frac{5 + 3 a^{2} \cdot 0 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 5.1.2.6

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot \frac{5 + 3 a^{2} \cdot 0 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 5.1.2.7

Avalie o limite.

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Etapa 5.1.2.7.1

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot \frac{5 + 3 a^{2} \cdot 0 + 3 \cdot 0}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 5.1.2.7.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1.2.7.2.1

Divida $5 + 3 a^{2} \cdot 0 + 3 \cdot 0$ por $1$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} (5 + 3 a^{2} \cdot 0 + 3 \cdot 0))}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 5.1.2.7.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.2.7.2.2.1

Multiplique $3 a^{2} \cdot 0$ .

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Etapa 5.1.2.7.2.2.1.1

Multiplique $0$ por $3$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} (5 + 0 a^{2} + 3 \cdot 0))}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 5.1.2.7.2.2.1.2

Multiplique $0$ por $a^{2}$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} (5 + 0 + 3 \cdot 0))}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 5.1.2.7.2.2.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} (5 + 0 + 0))}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 5.1.2.7.2.3

Some $5$ e $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} (5 + 0))}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 5.1.2.7.2.4

Some $5$ e $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot 5)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 5.1.2.7.2.5

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 5.1.2.7.2.5.1

Cancele o fator comum.

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot 5)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 5.1.2.7.2.5.2

Reescreva a expressão.

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 5.1.2.7.2.6

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 5.1.3

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Etapa 5.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$e^{\frac{0}{0}}$

Etapa 5.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 5.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 5.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}}$ .

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Etapa 5.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 \frac{5 x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.4

Multiplique $\frac{5 x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.5

Como $\frac{1}{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{x^{2}}]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.6

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $\frac{5 x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{5 (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1))} \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.7

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 5.3.7.1

Cancele o fator comum.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{5 (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1))} \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.7.2

Reescreva a expressão.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.8

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)$ e $g (x) = x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)] - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.9

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 5.3.9.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)] - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.9.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)] - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 (a^{2} + 1)]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 (a^{2} + 1)]) - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.11

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{x^{2} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 (a^{2} + 1)]) - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{x^{2} (5 \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [3 (a^{2} + 1)]) - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.13

Multiplique $2$ por $5$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{x^{2} (10 x + \frac{d}{d x} [3 (a^{2} + 1)]) - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.14

Como $3 (a^{2} + 1)$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 (a^{2} + 1)$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{x^{2} (10 x + 0) - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.15

Some $10 x$ e $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{x^{2} \cdot 10 x - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.16

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.3.16.1

Mova $x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{x \cdot x^{2} \cdot 10 - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.16.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 5.3.16.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{x^{1} x^{2} \cdot 10 - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.16.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{x^{1 + 2} \cdot 10 - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.16.3

Some $1$ e $2$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{x^{3} \cdot 10 - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.17

Mova $10$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{10 \cdot x^{3} - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.18

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{10 x^{3} - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \cdot 2 x}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.19

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{10 x^{3} - 2 (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.20

Multiplique $\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}$ por $\frac{10 x^{3} - 2 (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x}{x^{4}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} (10 x^{3} - 2 (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x)}{(5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.21

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.21.1

Fatore $x^{2}$ de $(5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x^{4}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} (10 x^{3} - 2 (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x)}{x^{2} (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.21.2

Cancele o fator comum.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} (10 x^{3} - 2 (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x)}{x^{2} (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.21.3

Reescreva a expressão.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} - 2 (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x}{(5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.22

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.22.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} - 2 (5 x^{2} + 3 a^{2} + 3 \cdot 1) x}{(5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.22.2

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} + (- 2 \cdot 5 x^{2} - 2 \cdot 3 a^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 1) x}{(5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.22.3

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} - 2 \cdot 5 x^{2} x - 2 \cdot 3 a^{2} x - 2 \cdot 3 \cdot 1 x}{(5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.22.4

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} - 2 \cdot 5 x^{2} x - 2 \cdot 3 a^{2} x - 2 \cdot 3 \cdot 1 x}{(5 x^{2} + 3 a^{2} + 3 \cdot 1) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.22.5

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} - 2 \cdot 5 x^{2} x - 2 \cdot 3 a^{2} x - 2 \cdot 3 \cdot 1 x}{5 x^{2} x^{2} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.22.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.22.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.22.6.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.22.6.1.1.1

Mova $x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} - 2 \cdot 5 x \cdot x^{2} - 2 \cdot 3 a^{2} x - 2 \cdot 3 \cdot 1 x}{5 x^{2} x^{2} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.22.6.1.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.22.6.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} - 2 \cdot 5 x^{1} x^{2} - 2 \cdot 3 a^{2} x - 2 \cdot 3 \cdot 1 x}{5 x^{2} x^{2} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.22.6.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} - 2 \cdot 5 x^{1 + 2} - 2 \cdot 3 a^{2} x - 2 \cdot 3 \cdot 1 x}{5 x^{2} x^{2} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.22.6.1.1.3

Some $1$ e $2$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} - 2 \cdot 5 x^{3} - 2 \cdot 3 a^{2} x - 2 \cdot 3 \cdot 1 x}{5 x^{2} x^{2} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.22.6.1.2

Multiplique $5$ por $- 2$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} - 10 x^{3} - 2 \cdot 3 a^{2} x - 2 \cdot 3 \cdot 1 x}{5 x^{2} x^{2} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.22.6.1.3

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} - 10 x^{3} - 6 a^{2} x - 2 \cdot 3 \cdot 1 x}{5 x^{2} x^{2} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.22.6.1.4

Multiplique $- 2 (3 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.22.6.1.4.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} - 10 x^{3} - 6 a^{2} x - 2 \cdot 3 x}{5 x^{2} x^{2} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.22.6.1.4.2

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} - 10 x^{3} - 6 a^{2} x - 6 x}{5 x^{2} x^{2} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.22.6.2

Subtraia $10 x^{3}$ de $10 x^{3}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{0 - 6 a^{2} x - 6 x}{5 x^{2} x^{2} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.22.6.3

Subtraia $6 a^{2} x$ de $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 6 a^{2} x - 6 x}{5 x^{2} x^{2} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.22.7

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.22.7.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.22.7.1.1

Mova $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 6 a^{2} x - 6 x}{5 x^{2} x^{2} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.22.7.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 6 a^{2} x - 6 x}{5 x^{2 + 2} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.22.7.1.3

Some $2$ e $2$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 6 a^{2} x - 6 x}{5 x^{4} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.22.7.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 6 a^{2} x - 6 x}{5 x^{4} + 3 a^{2} x^{2} + 3 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.22.8

Reordene os termos.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 6 a^{2} x - 6 x}{5 x^{4} + 3 x^{2} + 3 a^{2} x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.22.9

Fatore $6 x$ de $- 6 a^{2} x - 6 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.22.9.1

Fatore $6 x$ de $- 6 a^{2} x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x \cdot - 1 a^{2} - 6 x}{5 x^{4} + 3 x^{2} + 3 a^{2} x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.22.9.2

Fatore $6 x$ de $- 6 x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x \cdot - 1 a^{2} + 6 x (- 1)}{5 x^{4} + 3 x^{2} + 3 a^{2} x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.22.9.3

Fatore $6 x$ de $6 x (- a^{2}) + 6 x (- 1)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x (- a^{2} - 1)}{5 x^{4} + 3 x^{2} + 3 a^{2} x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.22.10

Fatore $x^{2}$ de $5 x^{4} + 3 x^{2} + 3 a^{2} x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.22.10.1

Fatore $x^{2}$ de $5 x^{4}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x (- a^{2} - 1)}{x^{2} \cdot 5 x^{2} + 3 x^{2} + 3 a^{2} x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.22.10.2

Fatore $x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x (- a^{2} - 1)}{x^{2} \cdot 5 x^{2} + x^{2} \cdot 3 + 3 a^{2} x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.22.10.3

Fatore $x^{2}$ de $3 a^{2} x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x (- a^{2} - 1)}{x^{2} \cdot 5 x^{2} + x^{2} \cdot 3 + x^{2} \cdot 3 a^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.22.10.4

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} (5 x^{2}) + x^{2} \cdot 3$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x (- a^{2} - 1)}{x^{2} (5 x^{2} + 3) + x^{2} \cdot 3 a^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.22.10.5

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} (5 x^{2} + 3) + x^{2} (3 a^{2})$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x (- a^{2} - 1)}{x^{2} (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.22.11

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.22.11.1

Fatore $x$ de $6 x (- a^{2} - 1)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 6 (- a^{2} - 1)}{x^{2} (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.22.11.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.22.11.2.1

Fatore $x$ de $x^{2} (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 6 (- a^{2} - 1)}{x \cdot x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.22.11.2.2

Cancele o fator comum.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 6 (- a^{2} - 1)}{x \cdot x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.22.11.2.3

Reescreva a expressão.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 (- a^{2} - 1)}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.22.12

Fatore $- 1$ de $- a^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 (- (a^{2}) - 1)}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.22.13

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 (- (a^{2}) - 1 (1))}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.22.14

Fatore $- 1$ de $- (a^{2}) - 1 (1)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 \cdot - 1 (a^{2} + 1)}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.22.15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{6 (a^{2} + 1)}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.3.23

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{6 (a^{2} + 1)}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

Etapa 5.3.24

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{6 (a^{2} + 1)}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}{- x^{- 2}}}$

Etapa 5.3.25

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{6 (a^{2} + 1)}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 5.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{6 (a^{2} + 1)}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})} \cdot - 1 x^{2}}$

Etapa 5.5

Combine os fatores.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} 1 \frac{6 (a^{2} + 1)}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})} x^{2}}$

Etapa 5.5.2

Multiplique $\frac{6 (a^{2} + 1)}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{6 (a^{2} + 1)}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})} x^{2}}$

Etapa 5.5.3

Combine $\frac{6 (a^{2} + 1)}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}$ e $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{6 (a^{2} + 1) x^{2}}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}$

Etapa 5.6

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Fatore $x$ de $6 (a^{2} + 1) x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot 6 (a^{2} + 1) x}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}$

Etapa 5.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.1

Cancele o fator comum.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot 6 (a^{2} + 1) x}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}$

Etapa 5.6.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{6 (a^{2} + 1) x}{5 x^{2} + 3 + 3 a^{2}}}$

Etapa 5.7

Reordene os fatores em $\frac{6 (a^{2} + 1) x}{5 x^{2} + 3 + 3 a^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{6 x (a^{2} + 1)}{5 x^{2} + 3 + 3 a^{2}}}$

Etapa 6

Mova o termo $6 (a^{2} + 1)$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$e^{6 (a^{2} + 1) lim_{x \to \infty} \frac{x}{5 x^{2} + 3 + 3 a^{2}}}$

Etapa 7

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x^{2}$ .

$e^{6 (a^{2} + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x^{2}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

Etapa 8

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$e^{6 (a^{2} + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{1}}{x^{2}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

Etapa 8.1.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$e^{6 (a^{2} + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x^{2}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

Etapa 8.1.3

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.3.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$e^{6 (a^{2} + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

Etapa 8.1.3.2

Cancele o fator comum.

$e^{6 (a^{2} + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

Etapa 8.1.3.3

Reescreva a expressão.

$e^{6 (a^{2} + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

Etapa 8.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum.

$e^{6 (a^{2} + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

Etapa 8.2.2

Divida $5$ por $1$ .

$e^{6 (a^{2} + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{5 + \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

Etapa 8.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{6 (a^{2} + 1) \frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

Etapa 9

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$e^{6 (a^{2} + 1) \frac{0}{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

Etapa 10

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{6 (a^{2} + 1) \frac{0}{lim_{x \to \infty} 5 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

Etapa 10.2

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{6 (a^{2} + 1) \frac{0}{5 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

Etapa 10.3

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$e^{6 (a^{2} + 1) \frac{0}{5 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

Etapa 11

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$e^{6 (a^{2} + 1) \frac{0}{5 + 3 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

Etapa 12

Mova o termo $3 a^{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$e^{6 (a^{2} + 1) \frac{0}{5 + 3 \cdot 0 + 3 a^{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 13

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$e^{6 (a^{2} + 1) \frac{0}{5 + 3 \cdot 0 + 3 a^{2} \cdot 0}}$

Etapa 14

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{(6 a^{2} + 6 \cdot 1) \frac{0}{5 + 3 \cdot 0 + 3 a^{2} \cdot 0}}$

Etapa 14.1.2

Multiplique $6$ por $1$ .

$e^{(6 a^{2} + 6) \frac{0}{5 + 3 \cdot 0 + 3 a^{2} \cdot 0}}$

Etapa 14.1.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.3.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$e^{(6 a^{2} + 6) \frac{0}{5 + 0 + 3 a^{2} \cdot 0}}$

Etapa 14.1.3.2

Multiplique $3 a^{2} \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.3.2.1

Multiplique $0$ por $3$ .

$e^{(6 a^{2} + 6) \frac{0}{5 + 0 + 0 a^{2}}}$

Etapa 14.1.3.2.2

Multiplique $0$ por $a^{2}$ .

$e^{(6 a^{2} + 6) \frac{0}{5 + 0 + 0}}$

Etapa 14.1.3.3

Some $5 + 0$ e $0$ .

$e^{(6 a^{2} + 6) \frac{0}{5 + 0}}$

Etapa 14.1.3.4

Some $5$ e $0$ .

$e^{(6 a^{2} + 6) \frac{0}{5}}$

Etapa 14.1.4

Divida $0$ por $5$ .

$e^{(6 a^{2} + 6) \cdot 0}$

Etapa 14.1.5

Multiplique $6 a^{2} + 6$ por $0$ .

$e^{0}$

Etapa 14.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$1$