Cálculo Exemplos

$- x y^{2} - 3 + 2 x^{3} = - 3 y^{3}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (- x y^{2} - 3 + 2 x^{3}) = \frac{d}{d x} (- 3 y^{3})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x y^{2} - 3 + 2 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x y^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x y^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y^{2}$ .

$- (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$- (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$- (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Etapa 2.2.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- (x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Etapa 2.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- (x (2 y y') + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Etapa 2.2.6

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$- (2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Etapa 2.2.7

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Etapa 2.3

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + 0 + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + 0 + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + 0 + 2 (3 x^{2})$

Etapa 2.4.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + 0 + 6 x^{2}$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- (2 x y y') - y^{2} + 0 + 6 x^{2}$

Etapa 2.5.2

Combine os termos.

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Etapa 2.5.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 (x y y') - y^{2} + 0 + 6 x^{2}$

Etapa 2.5.2.2

Some $- 2 x y y' - y^{2}$ e $0$ .

$- 2 x y y' - y^{2} + 6 x^{2}$

Etapa 2.5.3

Reordene os termos.

$6 x^{2} - y^{2} - 2 x y y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 y^{3}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$- 3 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 3 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$- 3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.3

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$- 9 (y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 9 y^{2} y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$6 x^{2} - y^{2} - 2 x y y' = - 9 y^{2} y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Some $9 y^{2} y'$ aos dois lados da equação.

$6 x^{2} - y^{2} - 2 x y y' + 9 y^{2} y' = 0$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.2.1

Subtraia $6 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$- y^{2} - 2 x y y' + 9 y^{2} y' = - 6 x^{2}$

Etapa 5.2.2

Some $y^{2}$ aos dois lados da equação.

$- 2 x y y' + 9 y^{2} y' = - 6 x^{2} + y^{2}$

Etapa 5.3

Fatore $y y'$ de $- 2 x y y' + 9 y^{2} y'$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $y y'$ de $- 2 x y y'$ .

$y y' (- 2 x) + 9 y^{2} y' = - 6 x^{2} + y^{2}$

Etapa 5.3.2

Fatore $y y'$ de $9 y^{2} y'$ .

$y y' (- 2 x) + y y' (9 y) = - 6 x^{2} + y^{2}$

Etapa 5.3.3

Fatore $y y'$ de $y y' (- 2 x) + y y' (9 y)$ .

$y y' (- 2 x + 9 y) = - 6 x^{2} + y^{2}$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $y y' (- 2 x + 9 y) = - 6 x^{2} + y^{2}$ por $y (- 2 x + 9 y)$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $y y' (- 2 x + 9 y) = - 6 x^{2} + y^{2}$ por $y (- 2 x + 9 y)$ .

$\frac{y y' (- 2 x + 9 y)}{y (- 2 x + 9 y)} = \frac{- 6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y^{2}}{y (- 2 x + 9 y)}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y' (- 2 x + 9 y)}{y (- 2 x + 9 y)} = \frac{- 6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y^{2}}{y (- 2 x + 9 y)}$

Etapa 5.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (- 2 x + 9 y)}{- 2 x + 9 y} = \frac{- 6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y^{2}}{y (- 2 x + 9 y)}$

Etapa 5.4.2.2

Cancele o fator comum de $- 2 x + 9 y$ .

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Etapa 5.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (- 2 x + 9 y)}{- 2 x + 9 y} = \frac{- 6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y^{2}}{y (- 2 x + 9 y)}$

Etapa 5.4.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y^{2}}{y (- 2 x + 9 y)}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.4.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y^{2}}{y (- 2 x + 9 y)}$

Etapa 5.4.3.1.2

Cancele o fator comum de $y^{2}$ e $y$ .

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Etapa 5.4.3.1.2.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$y' = - \frac{6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y \cdot y}{y (- 2 x + 9 y)}$

Etapa 5.4.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.4.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = - \frac{6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y \cdot y}{y (- 2 x + 9 y)}$

Etapa 5.4.3.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y}{- 2 x + 9 y}$

Etapa 5.4.3.2

Para escrever $\frac{y}{- 2 x + 9 y}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y}{- 2 x + 9 y} \cdot \frac{y}{y}$

Etapa 5.4.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $y (- 2 x + 9 y)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.4.3.3.1

Multiplique $\frac{y}{- 2 x + 9 y}$ por $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y \cdot y}{(- 2 x + 9 y) y}$

Etapa 5.4.3.3.2

Reordene os fatores de $(- 2 x + 9 y) y$ .

$y' = - \frac{6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y \cdot y}{y (- 2 x + 9 y)}$

Etapa 5.4.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- 6 x^{2} + y \cdot y}{y (- 2 x + 9 y)}$

Etapa 5.4.3.5

Multiplique $y$ por $y$ .

$y' = \frac{- 6 x^{2} + y^{2}}{y (- 2 x + 9 y)}$

Etapa 5.4.3.6

Fatore $- 1$ de $- 6 x^{2}$ .

$y' = \frac{- (6 x^{2}) + y^{2}}{y (- 2 x + 9 y)}$

Etapa 5.4.3.7

Fatore $- 1$ de $y^{2}$ .

$y' = \frac{- (6 x^{2}) - 1 (- y^{2})}{y (- 2 x + 9 y)}$

Etapa 5.4.3.8

Fatore $- 1$ de $- (6 x^{2}) - 1 (- y^{2})$ .

$y' = \frac{- (6 x^{2} - y^{2})}{y (- 2 x + 9 y)}$

Etapa 5.4.3.9

Reescreva $- (6 x^{2} - y^{2})$ como $- 1 (6 x^{2} - y^{2})$ .

$y' = \frac{- 1 (6 x^{2} - y^{2})}{y (- 2 x + 9 y)}$

Etapa 5.4.3.10

Fatore $- 1$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{- 1 (6 x^{2} - y^{2})}{y (- (2 x) + 9 y)}$

Etapa 5.4.3.11

Fatore $- 1$ de $9 y$ .

$y' = \frac{- 1 (6 x^{2} - y^{2})}{y (- (2 x) - (- 9 y))}$

Etapa 5.4.3.12

Fatore $- 1$ de $- (2 x) - (- 9 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (6 x^{2} - y^{2})}{y (- (2 x - 9 y))}$

Etapa 5.4.3.13

Reescreva $- (2 x - 9 y)$ como $- 1 (2 x - 9 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (6 x^{2} - y^{2})}{y (- 1 (2 x - 9 y))}$

Etapa 5.4.3.14

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{- 1 (6 x^{2} - y^{2})}{y (- 1 (2 x - 9 y))}$

Etapa 5.4.3.15

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{6 x^{2} - y^{2}}{y (2 x - 9 y)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2} - y^{2}}{y (2 x - 9 y)}$