Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{2} (x^{2} - 1) e^{x^{3} - 3 x + 1} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x^{3} - 3 x + 1$ . Depois, $d u = (3 x^{2} - 3) d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = (x^{2} - 1) d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x^{3} - 3 x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x^{3} - 3 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} - 3 x + 1]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 3 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$3 x^{2} - 3 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} - 3 + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $3 x^{2} - 3$ e $0$ .

$3 x^{2} - 3$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x^{3} - 3 x + 1$ .

$u_{lower} = 0^{3} - 3 \cdot 0 + 1$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = 0 - 3 \cdot 0 + 1$

Etapa 1.3.1.2

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 1$

Etapa 1.3.2

Some $0$ e $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Etapa 1.3.3

Some $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x^{3} - 3 x + 1$ .

$u_{upper} = 2^{3} - 3 \cdot 2 + 1$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.1.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$u_{upper} = 8 - 3 \cdot 2 + 1$

Etapa 1.5.1.2

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$u_{upper} = 8 - 6 + 1$

Etapa 1.5.2

Subtraia $6$ de $8$ .

$u_{upper} = 2 + 1$

Etapa 1.5.3

Some $2$ e $1$ .

$u_{upper} = 3$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{1}^{3} e^{u} \frac{1}{3} d u$

Etapa 2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int_{1}^{3} \frac{e^{u}}{3} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int_{1}^{3} e^{u} d u$

Etapa 4

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} e^{u}]_{1}^{3}$

Etapa 5

Substitua e simplifique.

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Etapa 5.1

Avalie $e^{u}$ em $3$ e em $1$ .

$\frac{1}{3} ((e^{3}) - e^{1})$

Etapa 5.2

Simplifique.

$\frac{1}{3} (e^{3} - e)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{3} e^{3} + \frac{1}{3} (- e)$

Etapa 6.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $e^{3}$ .

$\frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3} (- e)$

Etapa 6.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $e$ .

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{e}{3}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{e}{3}$

Forma decimal:

$5.78908503 \dots$

Etapa 8