Cálculo Exemplos

$2 \csc^{2} (\frac{x}{3})$

Etapa 1

Escreva $2 \csc^{2} (\frac{x}{3})$ como uma função.

$f (x) = 2 \csc^{2} (\frac{x}{3})$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int 2 \csc^{2} (\frac{x}{3}) d x$

Etapa 4

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int \csc^{2} (\frac{x}{3}) d x$

Etapa 5

Deixe $u = \frac{x}{3}$ . Depois, $d u = \frac{1}{3} d x$ , então, $3 d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = \frac{x}{3}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Etapa 5.1.2

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Etapa 5.1.4

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{3}$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$2 \int \csc^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{3}$ .

$2 \int \csc^{2} (u) (1 \cdot 3) d u$

Etapa 6.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$2 \int \csc^{2} (u) \cdot 3 d u$

Etapa 6.3

Mova $3$ para a esquerda de $\csc^{2} (u)$ .

$2 \int 3 \csc^{2} (u) d u$

Etapa 7

Como $3$ é constante com relação a $u$ , mova $3$ para fora da integral.

$2 (3 \int \csc^{2} (u) d u)$

Etapa 8

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 \int \csc^{2} (u) d u$

Etapa 9

Como a derivada de $- \cot (u)$ é $\csc^{2} (u)$ , a integral de $\csc^{2} (u)$ é $- \cot (u)$ .

$6 (- \cot (u) + C)$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Simplifique.

$6 (- \cot (u)) + C$

Etapa 10.2

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$- 6 \cot (u) + C$

Etapa 11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{3}$ .

$- 6 \cot (\frac{x}{3}) + C$

Etapa 12

Reordene os termos.

$- 6 \cot (\frac{1}{3} x) + C$

Etapa 13

A resposta é a primitiva da função $f (x) = 2 \csc^{2} (\frac{x}{3})$ .

$F (x) =$ $- 6 \cot (\frac{1}{3} x) + C$