Cálculo Exemplos

$x^{3} e^{x^{2}}$

Etapa 1

Escreva $x^{3} e^{x^{2}}$ como uma função.

$f (x) = x^{3} e^{x^{2}}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int x^{3} e^{x^{2}} d x$

Etapa 4

Deixe $u = x^{2}$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u e^{u} \frac{1}{2} d u$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $u$ .

$\int \frac{u}{2} e^{u} d u$

Etapa 5.2

Combine $\frac{u}{2}$ e $e^{u}$ .

$\int \frac{u e^{u}}{2} d u$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int u e^{u} d u$

Etapa 7

Integre por partes usando a fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , em que $w = u$ e $dv = e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

Etapa 8

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (u e^{u} - (e^{u} + C))$

Etapa 9

Simplifique.

$\frac{1}{2} (u e^{u} - e^{u}) + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}}) + C$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}}) + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

Etapa 11.2

Multiplique $\frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}})$ .

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Etapa 11.2.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} e^{x^{2}} + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

Etapa 11.2.2

Combine $\frac{x^{2}}{2}$ e $e^{x^{2}}$ .

$\frac{x^{2} e^{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

Etapa 11.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{x^{2}}$ .

$\frac{x^{2} e^{x^{2}}}{2} - \frac{e^{x^{2}}}{2} + C$

Etapa 12

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}} - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$

Etapa 13

A resposta é a primitiva da função $f (x) = x^{3} e^{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}} - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$