Cálculo Exemplos

$2 - 4 y^{2} + 3 x^{3} = 3 y - 5 y^{3}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (2 - 4 y^{2} + 3 x^{3}) = \frac{d}{d x} (3 y - 5 y^{3})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 - 4 y^{2} + 3 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Etapa 2.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 y^{2}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$0 - 4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 - 4 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Etapa 2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$0 - 4 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$0 - 4 (2 y y') + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Etapa 2.2.4

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$0 - 8 y y' + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{3}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - 8 y y' + 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$0 - 8 y y' + 3 (3 x^{2})$

Etapa 2.3.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$0 - 8 y y' + 9 x^{2}$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Subtraia $8 y y'$ de $0$ .

$- 8 y y' + 9 x^{2}$

Etapa 2.4.2

Reordene os termos.

$9 x^{2} - 8 y y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 y - 5 y^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 y]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 y$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}]$

Etapa 3.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y' + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 y^{3}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 y^{3}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$3 y' - 5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$3 y' - 5 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 y' - 5 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$3 y' - 5 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y' - 5 (3 y^{2} y')$

Etapa 3.3.4

Multiplique $3$ por $- 5$ .

$3 y' - 15 y^{2} y'$

Etapa 3.4

Reordene os termos.

$- 15 y^{2} y' + 3 y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$9 x^{2} - 8 y y' = - 15 y^{2} y' + 3 y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Como $y'$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$- 15 y^{2} y' + 3 y' = 9 x^{2} - 8 y y'$

Etapa 5.2

Some $8 y y'$ aos dois lados da equação.

$- 15 y^{2} y' + 3 y' + 8 y y' = 9 x^{2}$

Etapa 5.3

Fatore $y'$ de $- 15 y^{2} y' + 3 y' + 8 y y'$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $y'$ de $- 15 y^{2} y'$ .

$y' (- 15 y^{2}) + 3 y' + 8 y y' = 9 x^{2}$

Etapa 5.3.2

Fatore $y'$ de $3 y'$ .

$y' (- 15 y^{2}) + y' \cdot 3 + 8 y y' = 9 x^{2}$

Etapa 5.3.3

Fatore $y'$ de $8 y y'$ .

$y' (- 15 y^{2}) + y' \cdot 3 + y' (8 y) = 9 x^{2}$

Etapa 5.3.4

Fatore $y'$ de $y' (- 15 y^{2}) + y' \cdot 3$ .

$y' (- 15 y^{2} + 3) + y' (8 y) = 9 x^{2}$

Etapa 5.3.5

Fatore $y'$ de $y' (- 15 y^{2} + 3) + y' (8 y)$ .

$y' (- 15 y^{2} + 3 + 8 y) = 9 x^{2}$

Etapa 5.4

Reordene os termos.

$y' (- 15 y^{2} + 8 y + 3) = 9 x^{2}$

Etapa 5.5

Divida cada termo em $y' (- 15 y^{2} + 8 y + 3) = 9 x^{2}$ por $- 15 y^{2} + 8 y + 3$ e simplifique.

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Etapa 5.5.1

Divida cada termo em $y' (- 15 y^{2} + 8 y + 3) = 9 x^{2}$ por $- 15 y^{2} + 8 y + 3$ .

$\frac{y' (- 15 y^{2} + 8 y + 3)}{- 15 y^{2} + 8 y + 3} = \frac{9 x^{2}}{- 15 y^{2} + 8 y + 3}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.1

Cancele o fator comum de $- 15 y^{2} + 8 y + 3$ .

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Etapa 5.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (- 15 y^{2} + 8 y + 3)}{- 15 y^{2} + 8 y + 3} = \frac{9 x^{2}}{- 15 y^{2} + 8 y + 3}$

Etapa 5.5.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{9 x^{2}}{- 15 y^{2} + 8 y + 3}$

Etapa 5.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.3.1

Fatore $- 1$ de $- 15 y^{2}$ .

$y' = \frac{9 x^{2}}{- (15 y^{2}) + 8 y + 3}$

Etapa 5.5.3.2

Fatore $- 1$ de $8 y$ .

$y' = \frac{9 x^{2}}{- (15 y^{2}) - (- 8 y) + 3}$

Etapa 5.5.3.3

Fatore $- 1$ de $- (15 y^{2}) - (- 8 y)$ .

$y' = \frac{9 x^{2}}{- (15 y^{2} - 8 y) + 3}$

Etapa 5.5.3.4

Reescreva $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$y' = \frac{9 x^{2}}{- (15 y^{2} - 8 y) - 1 (- 3)}$

Etapa 5.5.3.5

Fatore $- 1$ de $- (15 y^{2} - 8 y) - 1 (- 3)$ .

$y' = \frac{9 x^{2}}{- (15 y^{2} - 8 y - 3)}$

Etapa 5.5.3.6

Reescreva os negativos.

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Etapa 5.5.3.6.1

Reescreva $- (15 y^{2} - 8 y - 3)$ como $- 1 (15 y^{2} - 8 y - 3)$ .

$y' = \frac{9 x^{2}}{- 1 (15 y^{2} - 8 y - 3)}$

Etapa 5.5.3.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{9 x^{2}}{15 y^{2} - 8 y - 3}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{9 x^{2}}{15 y^{2} - 8 y - 3}$