Cálculo Exemplos

$\sqrt{3 \cos^{3} (x)}$

Etapa 1

Reescreva $\frac{d}{d x} [\sqrt{3 \cos^{3} (x)}]$ como $\frac{d}{d x} [\cos (x) \sqrt{3 \cos (x)}]$ .

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Etapa 1.1

Reescreva $3 \cos^{3} (x)$ como $\cos^{2} (x) \cdot (3 \cos (x))$ .

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Etapa 1.1.1

Fatore $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3 (\cos^{2} (x) \cos (x))}]$

Etapa 1.1.2

Reordene $3$ e $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\cos^{2} (x) \cdot 3 \cos (x)}]$

Etapa 1.1.3

Adicione parênteses.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\cos^{2} (x) \cdot (3 \cos (x))}]$

Etapa 1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{d}{d x} [\cos (x) \sqrt{3 \cos (x)}]$

Etapa 2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3 \cos (x)}$ como ${(3 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x) {(3 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3

Fatore $3$ de $3 \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x) {(3 (\cos (x)))}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4

Aplique a regra do produto a $3 (\cos (x))$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x) (3^{\frac{1}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 5

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} (\cos^{1} (x) {\cos (x)}^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} {\cos (x)}^{1 + \frac{1}{2}}]$

Etapa 7

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 7.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} {\cos (x)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Etapa 7.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} {\cos (x)}^{\frac{2 + 1}{2}}]$

Etapa 7.2.2

Some $2$ e $1$ .

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} {\cos (x)}^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 7.3

Como $3^{\frac{1}{2}}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3^{\frac{1}{2}} {\cos (x)}^{\frac{3}{2}}$ em relação a $x$ é $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{\cos (x)}^{\frac{3}{2}}]$ .

$3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{\cos (x)}^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 8

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Etapa 8.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\cos (x)$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{2}$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 8.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} {\cos (x)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 9

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} {\cos (x)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 10

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} {\cos (x)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} {\cos (x)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 12

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} {\cos (x)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 12.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 13

Combine $\frac{3}{2}$ e ${\cos (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 14

Combine $\frac{3 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ e $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 15

Multiplique $3$ por $3^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 15.1

Mova $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 15.2

Multiplique $3^{\frac{1}{2}}$ por $3$ .

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Etapa 15.2.1

Eleve $3$ à potência de $1$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{1} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 15.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3^{\frac{1}{2} + 1} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 15.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{3^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 15.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3^{\frac{1 + 2}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 15.5

Some $1$ e $2$ .

$\frac{3^{\frac{3}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 16

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$\frac{3^{\frac{3}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} (- \sin (x))$

Etapa 17

Combine $\frac{3^{\frac{3}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ e $\sin (x)$ .

$- \frac{3^{\frac{3}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}} \sin (x)}{2}$