Cálculo Exemplos

$y = \frac{2 x}{x + 1}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x}{x + 1})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 x}{x + 1}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x + 1$ .

$2 \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Multiplique $x + 1$ por $1$ .

$2 \frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 \frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.6

Simplifique os termos.

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Etapa 3.3.6.1

Some $1$ e $0$ .

$2 \frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.6.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 \frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.6.3

Subtraia $x$ de $x$ .

$2 \frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.6.4

Some $0$ e $1$ .

$2 \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.6.5

Combine $2$ e $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$