Cálculo Exemplos

$\sum_{0}^{10} x^{2} - 2 x + 9$

Etapa 1

Divida a soma para tornar o valor inicial de $x$ igual a $1$ .

$\sum_{0}^{10} x^{2} - 2 x + 9 = \sum_{x = 1}^{10} x^{2} - 2 x + 9 + \sum_{x = 0}^{0} x^{2} - 2 x + 9$

Etapa 2

Avalie $\sum_{x = 1}^{10} x^{2} - 2 x + 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Divida a soma em somas menores que se enquadrem nas regras da soma.

$\sum_{x = 1}^{10} x^{2} - 2 x + 9 = \sum_{x = 1}^{10} x^{2} - 2 \sum_{x = 1}^{10} x + \sum_{x = 1}^{10} 9$

Etapa 2.2

Avalie $\sum_{x = 1}^{10} x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

A fórmula da soma de um polinômio com grau $2$ é:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Etapa 2.2.2

Substitua os valores na fórmula.

$\frac{10 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1)}{6}$

Etapa 2.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Cancele o fator comum de $10$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1.1

Fatore $2$ de $10 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1)$ .

$\frac{2 (5 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1))}{6}$

Etapa 2.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 (5 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1))}{2 (3)}$

Etapa 2.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (5 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1))}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1)}{3}$

Etapa 2.2.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.1

Multiplique $2$ por $10$ .

$\frac{5 (10 + 1) (20 + 1)}{3}$

Etapa 2.2.3.2.2

Some $10$ e $1$ .

$\frac{5 \cdot 11 (20 + 1)}{3}$

Etapa 2.2.3.2.3

Multiplique $5$ por $11$ .

$\frac{55 (20 + 1)}{3}$

Etapa 2.2.3.2.4

Some $20$ e $1$ .

$\frac{55 \cdot 21}{3}$

Etapa 2.2.3.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.3.1

Multiplique $55$ por $21$ .

$\frac{1155}{3}$

Etapa 2.2.3.3.2

Divida $1155$ por $3$ .

$385$

Etapa 2.3

Avalie $2 \sum_{x = 1}^{10} x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

A fórmula da soma de um polinômio com grau $1$ é:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Etapa 2.3.2

Substitua os valores na fórmula e multiplique pelo termo da frente.

$(- 2) (\frac{10 (10 + 1)}{2})$

Etapa 2.3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1.1

Some $10$ e $1$ .

$- 2 \frac{10 \cdot 11}{2}$

Etapa 2.3.3.1.2

Multiplique $10$ por $11$ .

$- 2 (\frac{110}{2})$

Etapa 2.3.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{110}{2}$

Etapa 2.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 1 \frac{110}{2}$

Etapa 2.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$- 1 \cdot 110$

Etapa 2.3.3.3

Multiplique $- 1$ por $110$ .

$- 110$

Etapa 2.4

Avalie $\sum_{x = 1}^{10} 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

A fórmula da soma de uma constante é:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Etapa 2.4.2

Substitua os valores na fórmula.

$(9) (10)$

Etapa 2.4.3

Multiplique $9$ por $10$ .

$90$

Etapa 2.5

Adicione os resultados das somas.

$385 - 110 + 90$

Etapa 2.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Subtraia $110$ de $385$ .

$275 + 90$

Etapa 2.6.2

Some $275$ e $90$ .

$365$

Etapa 3

Avalie $\sum_{x = 0}^{0} x^{2} - 2 x + 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Expanda a série para cada valor de $x$ .

$0^{2} - 2 \cdot 0 + 9$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Eleve $0$ à potência de $2$ .

$0 - 2 \cdot 0 + 9$

Etapa 3.2.2

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$0 + 0 + 9$

Etapa 3.2.3

Some $0$ e $0$ .

$0 + 9$

Etapa 3.2.4

Some $0$ e $9$ .

$9$

Etapa 4

Substitua as somas pelos valores encontrados.

$365 + 9$

Etapa 5

Some $365$ e $9$ .

$374$