Cálculo Exemplos

$y = 5 x (x^{2} + 6)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 x (x^{2} + 6))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x (x^{2} + 6)$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x (x^{2} + 6)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x (x^{2} + 6)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 6$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [x^{2} + 6] + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$5 (x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]) + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$5 (x (2 x + \frac{d}{d x} [6]) + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3.3

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 (x (2 x + 0) + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3.4

Some $2 x$ e $0$ .

$5 (x (2 x) + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$5 (2 (x^{1} x) + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$5 (2 (x^{1} x^{1}) + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$5 (2 x^{1 + 1} + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.7

Some $1$ e $1$ .

$5 (2 x^{2} + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 (2 x^{2} + (x^{2} + 6) \cdot 1)$

Etapa 3.9

Simplifique somando os termos.

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Etapa 3.9.1

Multiplique $x^{2} + 6$ por $1$ .

$5 (2 x^{2} + x^{2} + 6)$

Etapa 3.9.2

Some $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$5 (3 x^{2} + 6)$

Etapa 3.10

Simplifique.

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Etapa 3.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 (3 x^{2}) + 5 \cdot 6$

Etapa 3.10.2

Combine os termos.

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Etapa 3.10.2.1

Multiplique $3$ por $5$ .

$15 x^{2} + 5 \cdot 6$

Etapa 3.10.2.2

Multiplique $5$ por $6$ .

$15 x^{2} + 30$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = 15 x^{2} + 30$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 15 x^{2} + 30$